Как упростить квадратный корень: полное руководство с примерами

Упрощение квадратных корней – это фундаментальный навык в алгебре, который позволяет представлять корни в наиболее компактной и понятной форме. Это особенно полезно при решении уравнений, работе с геометрическими фигурами и в других математических задачах. В этой статье мы подробно рассмотрим процесс упрощения квадратных корней, предоставим четкие инструкции и множество примеров, чтобы вы могли уверенно применять этот навык.

Что такое квадратный корень?

Квадратный корень числа *x* – это число *y*, которое при умножении на себя дает *x*. Математически это записывается как √*x* = *y*, где *y*² = *x*. Например, √9 = 3, потому что 3 * 3 = 9.

Почему нужно упрощать квадратные корни?

Упрощение квадратных корней необходимо для:

* **Представления в наиболее простой форме:** Упрощенный корень легче понять и использовать.
* **Облегчения вычислений:** Упрощенные корни позволяют проще выполнять математические операции.
* **Сравнения:** Упрощенные корни легче сравнивать между собой.
* **Стандартизации:** В математике принято представлять результаты в упрощенном виде.

Основные принципы упрощения квадратных корней

Процесс упрощения квадратного корня основан на следующих принципах:

1. **Разложение на множители:** Представление числа под корнем в виде произведения его множителей.
2. **Выделение полных квадратов:** Поиск множителей, которые являются полными квадратами (например, 4, 9, 16, 25 и т.д.).
3. **Извлечение квадратного корня из полных квадратов:** √*a*² = *a*.
4. **Свойство произведения корней:** √( *a* * b*) = √*a* * √*b*.

Пошаговая инструкция по упрощению квадратного корня

Давайте рассмотрим подробные шаги по упрощению квадратного корня на примерах.

**Шаг 1: Разложение числа под корнем на множители**

Первый шаг – разложить число под квадратным корнем на простые множители. Это означает представление числа в виде произведения простых чисел (чисел, которые делятся только на 1 и на себя).

*Пример:* Упростим √48.

Разложим 48 на множители: 48 = 2 * 24 = 2 * 2 * 12 = 2 * 2 * 2 * 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 = 2⁴ * 3.

Таким образом, √48 = √(2⁴ * 3).

**Шаг 2: Выделение полных квадратов**

Теперь нужно выделить полные квадраты среди множителей. Полный квадрат – это число, которое можно представить в виде квадрата другого числа. В нашем примере 2⁴ является полным квадратом, так как 2⁴ = (2²)² = 4² = 16.

√48 = √(2⁴ * 3) = √(16 * 3).

**Шаг 3: Извлечение квадратного корня из полных квадратов**

Используем свойство произведения корней: √( *a* * b*) = √*a* * √*b*.

√48 = √(16 * 3) = √16 * √3.

Теперь извлечем квадратный корень из 16: √16 = 4.

√48 = 4√3.

**Шаг 4: Запись упрощенного выражения**

Окончательный упрощенный вид √48 – это 4√3.

Примеры упрощения квадратных корней

Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить понимание процесса.

**Пример 1: Упростить √75**

1. *Разложение на множители:* 75 = 3 * 25 = 3 * 5 * 5 = 3 * 5²
2. *Выделение полных квадратов:* √75 = √(3 * 5²)
3. *Извлечение квадратного корня:* √75 = √3 * √5² = √3 * 5 = 5√3

Ответ: √75 = 5√3

**Пример 2: Упростить √128**

1. *Разложение на множители:* 128 = 2 * 64 = 2 * 2 * 32 = 2 * 2 * 2 * 16 = 2 * 2 * 2 * 2 * 8 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 4 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 2⁷
2. *Выделение полных квадратов:* √128 = √(2⁷) = √(2⁶ * 2) = √((2³) ² * 2) = √(8² * 2)
3. *Извлечение квадратного корня:* √128 = √8² * √2 = 8√2

Ответ: √128 = 8√2

**Пример 3: Упростить √360**

1. *Разложение на множители:* 360 = 2 * 180 = 2 * 2 * 90 = 2 * 2 * 2 * 45 = 2 * 2 * 2 * 3 * 15 = 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 5 = 2³ * 3² * 5
2. *Выделение полных квадратов:* √360 = √(2³ * 3² * 5) = √(2² * 2 * 3² * 5) = √(4 * 2 * 9 * 5)
3. *Извлечение квадратного корня:* √360 = √4 * √9 * √(2 * 5) = 2 * 3 * √10 = 6√10

Ответ: √360 = 6√10

**Пример 4: Упростить √(50a³b⁴), где a и b – положительные числа**

1. *Разложение на множители:* √(50a³b⁴) = √(2 * 25 * a² * a * b⁴) = √(2 * 5² * a² * a * (b²)²)
2. *Выделение полных квадратов:* Выделяем полные квадраты 5², a² и (b²)²
3. *Извлечение квадратного корня:* √(2 * 5² * a² * a * (b²)²) = √5² * √a² * √(b²)² * √(2a) = 5 * a * b² * √(2a)

Ответ: √(50a³b⁴) = 5ab²√(2a)

Сложные случаи и дополнительные советы

* **Коэффициенты перед корнем:** Если перед корнем есть коэффициент, умножьте его на результат извлечения квадратного корня из полных квадратов.

*Пример:* 3√20 = 3√(4 * 5) = 3 * √4 * √5 = 3 * 2 * √5 = 6√5

* **Дробные выражения под корнем:** Разделите корень на числитель и знаменатель, а затем упростите каждый из них.

*Пример:* √(9/16) = √9 / √16 = 3 / 4

*Пример:* √(20/49) = √20 / √49 = √(4*5) / 7 = 2√5 / 7

* **Выражения с переменными:** При упрощении выражений с переменными убедитесь, что вы учитываете положительность переменных, особенно при извлечении квадратных корней из четных степеней.

*Пример:* √(x²) = |x| (абсолютное значение x). Однако, если известно, что x ≥ 0, то √(x²) = x.

* **Упрощение выражений вида √(a²b + a²c):** В таких случаях сначала нужно вынести общий множитель a² за скобки, а затем извлечь корень.

*Пример:* √(3x² + 5x²) = √(x²(3+5)) = √(x² * 8) = |x|√8 = |x|√(4*2) = 2|x|√2. Если известно, что x≥0, то ответ будет 2x√2.

* **Рационализация знаменателя:** Иногда необходимо избавиться от корня в знаменателе дроби. Для этого числитель и знаменатель умножаются на корень, находящийся в знаменателе.

*Пример:* 1/√2 = (1 * √2) / (√2 * √2) = √2 / 2

*Пример:* 3/(2√5) = (3*√5)/(2√5*√5) = 3√5/(2*5) = 3√5/10

Практические упражнения

Для закрепления материала выполните следующие упражнения:

1. √50
2. √98
3. √243
4. √150
5. √200
6. √(72x⁵y²) (где x и y – положительные числа)
7. √(162a³b⁶) (где a и b – положительные числа)

*Ответы:*

1. 5√2
2. 7√2
3. 9√3
4. 5√6
5. 10√2
6. 6x²y√(2x)
7. 9ab³√(2a)

Заключение

Упрощение квадратных корней – важный навык, который пригодится вам во многих областях математики. Следуя приведенным шагам и решая практические упражнения, вы сможете освоить этот навык и уверенно применять его в различных задачах. Помните, что практика – ключ к успеху. Удачи!