फंक्शन का डोमेन और रेंज कैसे खोजें: विस्तृत गाइड

गणित में, एक फ़ंक्शन दो सेटों के बीच एक संबंध होता है, जहाँ पहले सेट (डोमेन) का प्रत्येक तत्व दूसरे सेट (रेंज) में ठीक एक तत्व से जुड़ा होता है। फ़ंक्शन की कार्यप्रणाली को समझने के लिए डोमेन (प्रान्त) और रेंज (परिसर) को समझना महत्वपूर्ण है। यह लेख आपको विभिन्न प्रकार के कार्यों के लिए डोमेन और रेंज खोजने के तरीके के बारे में विस्तृत निर्देश देगा।

## डोमेन क्या है?

किसी फ़ंक्शन का डोमेन इनपुट मानों (x-मान) का वह सेट है जिसके लिए फ़ंक्शन परिभाषित है। दूसरे शब्दों में, डोमेन उन सभी संभावित मानों का समूह है जिन्हें आप फ़ंक्शन में डाल सकते हैं और एक वैध आउटपुट प्राप्त कर सकते हैं।

## रेंज क्या है?

किसी फ़ंक्शन की रेंज आउटपुट मानों (y-मान) का वह सेट है जो फ़ंक्शन उत्पन्न कर सकता है। यह डोमेन में सभी संभावित x-मानों को प्लग इन करने के बाद प्राप्त सभी संभावित y-मानों का समूह है।

## डोमेन और रेंज खोजने के चरण

यहाँ विभिन्न प्रकार के कार्यों के लिए डोमेन और रेंज खोजने के लिए एक चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका दी गई है:

### 1. फ़ंक्शन के प्रकार की पहचान करें

विभिन्न प्रकार के कार्यों के लिए डोमेन और रेंज खोजने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोणों की आवश्यकता होती है। कुछ सामान्य प्रकार के फ़ंक्शन में शामिल हैं:

* **बहुपद फ़ंक्शन:** उदाहरण के लिए, f(x) = 3x² + 2x – 1
* **परिमेय फ़ंक्शन:** उदाहरण के लिए, f(x) = (x + 1) / (x – 2)
* **मूल फ़ंक्शन:** उदाहरण के लिए, f(x) = √x
* **लघुगणकीय फ़ंक्शन:** उदाहरण के लिए, f(x) = log(x)
* **त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन:** उदाहरण के लिए, f(x) = sin(x)

### 2. डोमेन ज्ञात करें

डोमेन ज्ञात करने के लिए, उन सभी संभावित x-मानों की पहचान करें जिनके लिए फ़ंक्शन परिभाषित है। यहाँ कुछ सामान्य प्रतिबंध दिए गए हैं जिन पर आपको विचार करने की आवश्यकता है:

* **परिमेय फ़ंक्शन:** हर शून्य नहीं हो सकता। इसलिए, आपको उन x-मानों को बाहर करना होगा जो हर को शून्य बनाते हैं।
* **मूल फ़ंक्शन:** वर्गमूल के अंदर की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती (वास्तविक संख्याओं के लिए)। इसलिए, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि वर्गमूल के अंदर की अभिव्यक्ति गैर-ऋणात्मक है।
* **लघुगणकीय फ़ंक्शन:** आप केवल धनात्मक संख्याओं का लॉग ले सकते हैं। इसलिए, आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि लॉग के अंदर की अभिव्यक्ति धनात्मक है।

यहाँ विभिन्न प्रकार के कार्यों के लिए डोमेन ज्ञात करने के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

* **बहुपद फ़ंक्शन:** बहुपद फ़ंक्शन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित होते हैं। इसलिए, डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का समूह है, जिसे (-∞, ∞) के रूप में लिखा जाता है।
* **परिमेय फ़ंक्शन:** फ़ंक्शन f(x) = (x + 1) / (x – 2) पर विचार करें। हर x = 2 पर शून्य है। इसलिए, डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय 2 के, जिसे (-∞, 2) ∪ (2, ∞) के रूप में लिखा जाता है।
* **मूल फ़ंक्शन:** फ़ंक्शन f(x) = √x पर विचार करें। वर्गमूल के अंदर की अभिव्यक्ति गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए। इसलिए, x ≥ 0. डोमेन [0, ∞) है।
* **लघुगणकीय फ़ंक्शन:** फ़ंक्शन f(x) = log(x) पर विचार करें। लॉग के अंदर की अभिव्यक्ति धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए, x > 0. डोमेन (0, ∞) है।

### 3. रेंज ज्ञात करें

रेंज ज्ञात करने के लिए, उन सभी संभावित y-मानों की पहचान करें जो फ़ंक्शन उत्पन्न कर सकता है। यह डोमेन ज्ञात करने की तुलना में अधिक कठिन हो सकता है, क्योंकि इसके लिए फ़ंक्शन के व्यवहार की गहरी समझ की आवश्यकता होती है।

यहाँ रेंज ज्ञात करने के लिए कुछ तकनीकें दी गई हैं:

* **ग्राफ़:** फ़ंक्शन के ग्राफ़ को प्लॉट करें और y-अक्ष पर सभी संभावित मानों को देखें।
* **बीजगणितीय रूप से हल करें:** y के लिए फ़ंक्शन को हल करें और उन सभी संभावित x-मानों को खोजें जिनके लिए y परिभाषित है।
* **मानों का विश्लेषण करें:** इनपुट मानों में विभिन्न मानों को प्लग इन करके आउटपुट मानों के व्यवहार का विश्लेषण करें।

यहाँ विभिन्न प्रकार के कार्यों के लिए रेंज ज्ञात करने के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

* **बहुपद फ़ंक्शन:** फ़ंक्शन f(x) = x² पर विचार करें। यह फ़ंक्शन हमेशा गैर-ऋणात्मक मान लौटाता है। इसलिए, रेंज [0, ∞) है।
* **परिमेय फ़ंक्शन:** फ़ंक्शन f(x) = 1/x पर विचार करें। यह फ़ंक्शन 0 को छोड़कर सभी वास्तविक मान लौटा सकता है। इसलिए, रेंज (-∞, 0) ∪ (0, ∞) है।
* **मूल फ़ंक्शन:** फ़ंक्शन f(x) = √x पर विचार करें। यह फ़ंक्शन हमेशा गैर-ऋणात्मक मान लौटाता है। इसलिए, रेंज [0, ∞) है।
* **त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन:** फ़ंक्शन f(x) = sin(x) पर विचार करें। यह फ़ंक्शन -1 और 1 के बीच के मान लौटाता है। इसलिए, रेंज [-1, 1] है।

### 4. डोमेन और रेंज को अंतराल नोटेशन में लिखें

एक बार जब आप डोमेन और रेंज का निर्धारण कर लेते हैं, तो उन्हें अंतराल नोटेशन में लिखना उपयोगी होता है। अंतराल नोटेशन वास्तविक संख्याओं के सेट का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका है।

यहाँ अंतराल नोटेशन के कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

* सभी वास्तविक संख्याएँ: (-∞, ∞)
* x ≥ a: [a, ∞)
* x > a: (a, ∞)
* x ≤ a: (-∞, a]
* x < a: (-∞, a) * a ≤ x ≤ b: [a, b] * a < x < b: (a, b) * a ≤ x < b: [a, b) * a < x ≤ b: (a, b] ## उदाहरण यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं जो दिखाते हैं कि विभिन्न प्रकार के कार्यों के लिए डोमेन और रेंज कैसे खोजें: **उदाहरण 1:** फ़ंक्शन f(x) = 2x + 3 के लिए डोमेन और रेंज ज्ञात करें। * **प्रकार:** यह एक रैखिक फ़ंक्शन है, जो एक बहुपद फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है। * **डोमेन:** चूंकि यह एक बहुपद फ़ंक्शन है, इसलिए डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं: (-∞, ∞)। * **रेंज:** एक रैखिक फ़ंक्शन में कोई प्रतिबंध नहीं होता है और यह सभी वास्तविक संख्याओं को आउटपुट कर सकता है। इसलिए, रेंज सभी वास्तविक संख्याएँ हैं: (-∞, ∞)। **उदाहरण 2:** फ़ंक्शन f(x) = 1/(x - 1) के लिए डोमेन और रेंज ज्ञात करें। * **प्रकार:** यह एक परिमेय फ़ंक्शन है। * **डोमेन:** हर x = 1 पर शून्य है। इसलिए, डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय 1 के: (-∞, 1) ∪ (1, ∞)। * **रेंज:** चूंकि x कभी भी 1 नहीं हो सकता, इसलिए फ़ंक्शन कभी भी 0 नहीं हो सकता। साथ ही, x के मान 1 के बहुत करीब होने पर, फ़ंक्शन या तो बहुत बड़ी धनात्मक संख्या या बहुत बड़ी ऋणात्मक संख्या प्राप्त कर सकता है। इसलिए, रेंज सभी वास्तविक संख्याएँ हैं सिवाय 0 के: (-∞, 0) ∪ (0, ∞)। **उदाहरण 3:** फ़ंक्शन f(x) = √ (x + 4) के लिए डोमेन और रेंज ज्ञात करें। * **प्रकार:** यह एक वर्गमूल फ़ंक्शन है। * **डोमेन:** वर्गमूल के अंदर की अभिव्यक्ति गैर-ऋणात्मक होनी चाहिए। इसलिए, x + 4 ≥ 0, जिसका अर्थ है x ≥ -4. डोमेन [-4, ∞) है। * **रेंज:** वर्गमूल फ़ंक्शन हमेशा गैर-ऋणात्मक मान लौटाता है। इसलिए, रेंज [0, ∞) है। **उदाहरण 4:** फ़ंक्शन f(x) = log₁₀(x - 2) के लिए डोमेन और रेंज ज्ञात करें। * **प्रकार:** यह एक लघुगणकीय फ़ंक्शन है। * **डोमेन:** लॉग के अंदर की अभिव्यक्ति धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए, x - 2 > 0, जिसका अर्थ है x > 2. डोमेन (2, ∞) है।
* **रेंज:** लघुगणकीय फ़ंक्शन सभी वास्तविक मान लौटा सकता है। इसलिए, रेंज (-∞, ∞) है।

**उदाहरण 5:** फ़ंक्शन f(x) = sin(x) + 2 के लिए डोमेन और रेंज ज्ञात करें।

* **प्रकार:** यह एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन है।
* **डोमेन:** sine फ़ंक्शन सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। इसलिए, डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं: (-∞, ∞)।
* **रेंज:** sine फ़ंक्शन का मान हमेशा -1 और 1 के बीच होता है। इसलिए, sin(x) का मान [-1, 1] है। फ़ंक्शन f(x) = sin(x) + 2 के लिए, रेंज [-1+2, 1+2] = [1, 3] है।

## सारांश

किसी फ़ंक्शन के डोमेन और रेंज को खोजना फ़ंक्शन की कार्यप्रणाली को समझने के लिए आवश्यक है। विभिन्न प्रकार के कार्यों के लिए डोमेन और रेंज खोजने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोणों की आवश्यकता होती है। सामान्य तकनीकों में प्रतिबंधों की पहचान करना, ग्राफ़ का उपयोग करना, बीजगणितीय रूप से हल करना और मानों का विश्लेषण करना शामिल है। डोमेन और रेंज को अंतराल नोटेशन में लिखना जानकारी को संप्रेषित करने का एक उपयोगी तरीका है।

अभ्यास के माध्यम से, आप विभिन्न प्रकार के कार्यों के लिए डोमेन और रेंज खोजने में कुशल हो सकते हैं। यह ज्ञान गणित और विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में मूल्यवान है।

## अतिरिक्त टिप्स

* **ग्राफिंग कैलकुलेटर का उपयोग करें:** ग्राफिक रूप से फ़ंक्शन को देखने के लिए एक ग्राफिक कैलकुलेटर का उपयोग करें, जो आपको डोमेन और रेंज को देखने में मदद कर सकता है।
* **ऑनलाइन डोमेन और रेंज कैलकुलेटर का उपयोग करें:** ऐसे कई ऑनलाइन कैलकुलेटर हैं जो आपको किसी फ़ंक्शन के डोमेन और रेंज को खोजने में मदद कर सकते हैं। हालाँकि, यह समझने के लिए कि कैलकुलेटर क्या कर रहा है, चरणों को समझना महत्वपूर्ण है।
* **अभ्यास, अभ्यास, अभ्यास:** डोमेन और रेंज को खोजने में कुशल बनने का सबसे अच्छा तरीका अभ्यास करना है। जितना अधिक आप अभ्यास करेंगे, आप उतने ही अधिक सहज हो जाएंगे।

यह गाइड आपको फंक्शन का डोमेन और रेंज समझने में मदद करेगा। गणित में सफलता के लिए डोमेन और रेंज की अच्छी समझ आवश्यक है। शुभकामनाएँ!