不用计算器也能轻松搞定：手算平方根的详细方法与技巧

在没有计算器的情况下，如何快速准确地求出一个数的平方根呢？ 别担心，这篇文章将为你详细讲解一种常用的手算平方根的方法，让你也能成为计算高手！ 这种方法虽然看起来有些复杂，但只要掌握了步骤，勤加练习，你就能轻松掌握，并在日常生活中派上用场。无论是估算数值，还是在考试中节省时间，手算平方根都是一项非常有用的技能。

## 为什么需要手算平方根？

你可能会问，现在计算器如此普及，为什么还需要学习手算平方根呢？原因有很多：

* **培养数学思维：** 手算平方根的过程涉及到数字的分解、估算、试错和修正，这能有效锻炼你的数学思维能力，提高你对数字的敏感度。
* **应急需求：** 在某些情况下，你可能无法使用计算器，例如在考试中，或者在没有电子设备的野外。掌握手算平方根的方法，就能帮助你解决实际问题。
* **深入理解平方根的概念：** 通过手算平方根，你可以更深入地理解平方根的本质，体会数学的乐趣。
* **提高估算能力：** 手算平方根的过程中，需要不断地进行估算，这能有效提高你的估算能力，让你对数字的大小更有感觉。

## 手算平方根的基本原理

手算平方根的原理其实是基于平方公式的逆运算。 我们可以将一个数的平方根表示为 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。 手算平方根的过程，就是不断地寻找a和b的值，使得 (a + b)^2 尽可能接近目标数。

## 手算平方根的具体步骤（长除法式方法）

下面，我们以求152.2756的平方根为例，详细讲解手算平方根的步骤。

**第一步：将被开方数进行分组**

从小数点开始，分别向左和向右，每两位数划分为一组。 如果最左边或最右边只有一位数，则单独作为一组。 对于152.2756，分组结果为：1’52.27’56

**第二步：找到第一组数的最大整数平方根**

观察最左边的第一组数“1”。 找到小于等于1的最大整数平方根。 显然，1的平方根是1。 将“1”写在竖式除号的上方（类似于长除法的商的位置）。

1
______
√ 1’52.27’56

**第三步：将被开方数减去第一组数的平方**

将第一组数“1”的平方（即1）写在被开方数“1”的下方，然后相减。 余数为0。

1
______
√ 1’52.27’56
-1
—
0

**第四步：将第二组数“52”落下来**

将余数“0”后面的第二组数“52”落下来，得到“52”。

1
______
√ 1’52.27’56
-1
—
052

**第五步：将已求出的平方根乘以20**

将已求出的平方根“1”乘以20，得到20。 将“20”写在竖式除号的左侧，作为除数的起始部分。

1
______
√ 1’52.27’56
-1
—
20 052

**第六步：寻找试商**

现在，我们需要找到一个一位数（0-9），将其写在“20”的后面，形成一个新的除数，同时，将这个一位数也写在竖式除号的上方，作为平方根的下一位数。 这个一位数需要满足：新的除数乘以这个一位数，其结果小于等于“52”。

我们可以尝试不同的数字：

* 如果试商为1，那么除数为21，21 * 1 = 21 < 52，可行。 * 如果试商为2，那么除数为22，22 * 2 = 44 < 52，可行。 * 如果试商为3，那么除数为23，23 * 3 = 69 > 52，不可行。

因此，最大可行的试商为2。将“2”写在“1”的后面，也写在竖式除号的上方。

12
______
√ 1’52.27’56
-1
—
22 052

**第七步：计算并相减**

将新的除数“22”乘以试商“2”，得到44。 将“44”写在“52”的下方，然后相减。 余数为8。

12
______
√ 1’52.27’56
-1
—
22 052
-44
—
08

**第八步：将下一组数“27”落下来**

将余数“8”后面的下一组数“27”落下来，得到“827”。

12
______
√ 1’52.27’56
-1
—
22 052
-44
—
0827

**第九步：将已求出的平方根乘以20**

将已求出的平方根“12”乘以20，得到240。 将“240”写在竖式除号的左侧，作为除数的起始部分。

12
______
√ 1’52.27’56
-1
—
22 052
-44
—
240 0827

**第十步：寻找试商**

现在，我们需要找到一个一位数（0-9），将其写在“240”的后面，形成一个新的除数，同时，将这个一位数也写在竖式除号的上方，作为平方根的下一位数。 这个一位数需要满足：新的除数乘以这个一位数，其结果小于等于“827”。

我们可以尝试不同的数字：

* 如果试商为1，那么除数为241，241 * 1 = 241 < 827，可行。 * 如果试商为2，那么除数为242，242 * 2 = 484 < 827，可行。 * 如果试商为3，那么除数为243，243 * 3 = 729 < 827，可行。 * 如果试商为4，那么除数为244，244 * 4 = 976 > 827，不可行。

因此，最大可行的试商为3。将“3”写在“12”的后面，也写在竖式除号的上方。 由于我们已经计算到小数点后，所以要在商的12和3之间加上小数点。

12.3
______
√ 1’52.27’56
-1
—
22 052
-44
—
243 0827

**第十一步：计算并相减**

将新的除数“243”乘以试商“3”，得到729。 将“729”写在“827”的下方，然后相减。 余数为98。

12.3
______
√ 1’52.27’56
-1
—
22 052
-44
—
243 0827
-729
—-
098

**第十二步：将下一组数“56”落下来**

将余数“98”后面的下一组数“56”落下来，得到“9856”。

12.3
______
√ 1’52.27’56
-1
—
22 052
-44
—
243 0827
-729
—-
09856

**第十三步：将已求出的平方根乘以20**

将已求出的平方根“12.3”乘以20，得到246。 将“246”写在竖式除号的左侧，作为除数的起始部分。

12.3
______
√ 1’52.27’56
-1
—
22 052
-44
—
243 0827
-729
—-
246 09856

**第十四步：寻找试商**

现在，我们需要找到一个一位数（0-9），将其写在“246”的后面，形成一个新的除数，同时，将这个一位数也写在竖式除号的上方，作为平方根的下一位数。 这个一位数需要满足：新的除数乘以这个一位数，其结果小于等于“9856”。

我们可以尝试不同的数字：

* 如果试商为1，那么除数为2461，2461 * 1 = 2461 < 9856，可行。 * ... (省略中间的尝试) * 如果试商为4，那么除数为2464，2464 * 4 = 9856 = 9856，可行。 因此，试商为4。将“4”写在“12.3”的后面，也写在竖式除号的上方。 12.34 ______ √ 1'52.27'56 -1 --- 22 052 -44 --- 243 0827 -729 ---- 2464 09856 **第十五步：计算并相减** 将新的除数“2464”乘以试商“4”，得到9856。 将“9856”写在“9856”的下方，然后相减。 余数为0。 12.34 ______ √ 1'52.27'56 -1 --- 22 052 -44 --- 243 0827 -729 ---- 2464 09856 -9856 ----- 0000 由于余数为0，计算结束。 152.2756的平方根为12.34。 ## 总结：手算平方根的关键步骤 1. **分组：** 将被开方数从小数点开始，向左和向右每两位数划分为一组。 2. **求第一组数的最大整数平方根：** 找到小于等于第一组数的最大整数平方根，写在竖式除号的上方。 3. **相减：** 将第一组数的平方从被开方数中减去。 4. **落数：** 将下一组数落下来。 5. **乘以20：** 将已求出的平方根乘以20，作为新的除数的起始部分。 6. **寻找试商：** 找到一个一位数，使得新的除数乘以这个一位数，其结果小于等于当前的余数和落下来的数组成的数。 7. **计算并相减：** 将新的除数乘以试商，从当前的余数和落下来的数组成的数中减去。 8. **重复：** 重复步骤4-7，直到达到所需的精度。 ## 手算平方根的技巧和注意事项 * **熟练掌握平方数：** 熟练掌握1-20的平方数，可以加快估算试商的速度。 * **估算技巧：** 在寻找试商时，可以先估算一下，然后再尝试。例如，如果当前的余数和落下来的数组成的数是827，而除数的起始部分是240，那么可以先用827除以240，估算出试商的大概范围。 * **小数点的位置：** 在计算过程中，要注意小数点的位置。如果被开方数的小数点后有偶数位，那么平方根的小数点后也有相应的位数。如果被开方数的小数点后有奇数位，那么需要在被开方数后面补一个0，使其变成偶数位。 * **练习：** 勤加练习是掌握手算平方根的关键。可以从一些简单的数字开始，例如4，9，16，25，然后再逐渐增加难度。 * **耐心：** 手算平方根需要一定的耐心和细心。不要着急，一步一步地按照步骤进行，就能得到正确的结果。 ## 实例练习 为了更好地掌握手算平方根的方法，我们再来做几个练习： 1. **求256的平方根：** * 分组：2'56 * 第一组：2，最大整数平方根为1 * 1 * 1 = 1, 2 - 1 = 1 * 落数：156 * 已求出的平方根1乘以20：20 * 试商：6 (26 * 6 = 156) * 结果：16 2. **求625的平方根：** * 分组：6'25 * 第一组：6，最大整数平方根为2 * 2 * 2 = 4, 6 - 4 = 2 * 落数：225 * 已求出的平方根2乘以20：40 * 试商：5 (45 * 5 = 225) * 结果：25 3. **求2的平方根（保留两位小数）：** * 分组：2.00'00 * 第一组：2，最大整数平方根为1 * 1 * 1 = 1, 2 - 1 = 1 * 落数：100 * 已求出的平方根1乘以20：20 * 试商：4 (24 * 4 = 96) * 余数：4 * 落数：400 * 已求出的平方根1.4乘以20：280 * 试商：1 (281 * 1 = 281) * 余数：119 * 结果：约等于1.41 ## 其他方法 除了上面介绍的长除法式方法，还有一些其他的手算平方根的方法，例如： * **迭代法（牛顿迭代法）：** 通过不断迭代计算，逐步逼近平方根的真实值。 * **估算法：** 通过对平方根进行估算，然后不断修正，得到更精确的结果。 这些方法各有优缺点，可以根据实际情况选择使用。 一般来说，长除法式方法更容易理解和掌握，适合初学者。 ## 总结 手算平方根是一项非常有用的技能，可以锻炼你的数学思维能力，提高你对数字的敏感度。 掌握手算平方根的方法，需要勤加练习，并灵活运用各种技巧。 相信通过这篇文章的讲解和练习，你也能轻松掌握手算平方根的技巧，成为计算高手！ 希望你在学习和生活中都能运用到这项技能，解决实际问题，体会数学的乐趣！