Comment Résoudre une Équation du Second Degré : Guide Complet et Détaillé

Les équations du second degré, également appelées équations quadratiques, sont des outils fondamentaux en mathématiques, apparaissant dans de nombreux domaines tels que la physique, l’ingénierie et l’économie. Maîtriser leur résolution est donc crucial pour tout étudiant ou professionnel utilisant ces concepts. Cet article a pour objectif de vous guider pas à pas à travers les différentes méthodes pour résoudre ces équations, en fournissant des explications claires et détaillées, accompagnées d’exemples concrets.

Qu’est-ce qu’une Équation du Second Degré ?

Une équation du second degré est une équation polynomiale dont le terme de plus haut degré est 2. Sa forme générale est la suivante :

ax² + bx + c = 0

Où :

• a, b, et c sont des coefficients réels (ou complexes), avec a ≠ 0.
• x est l’inconnue que nous cherchons à déterminer.

Le but est de trouver les valeurs de x qui satisfont cette équation. Ces valeurs sont appelées les racines ou les solutions de l’équation.

Méthodes de Résolution

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre une équation du second degré. Nous allons explorer les plus courantes :

1. La Factorisation
2. La Formule Quadratique (Discriminant)
3. La Complétion du Carré

1. La Factorisation

La factorisation est une méthode qui consiste à réécrire l’équation du second degré sous la forme d’un produit de deux binômes du premier degré. Cette méthode est particulièrement utile lorsque les racines sont des nombres entiers ou des fractions simples.

Exemple de Factorisation

Considérons l’équation :

x² – 5x + 6 = 0

Nous cherchons deux nombres dont le produit est 6 et la somme est -5. Ces nombres sont -2 et -3. L’équation peut donc se factoriser comme suit :

(x – 2)(x – 3) = 0

Pour que le produit de deux facteurs soit égal à zéro, il faut qu’au moins l’un des facteurs soit égal à zéro. Donc, nous avons deux possibilités :

x – 2 = 0 ou x – 3 = 0

Ce qui donne les solutions :

x = 2 ou x = 3

Les racines de l’équation x² – 5x + 6 = 0 sont donc 2 et 3.

Limitations de la Factorisation

La factorisation n’est pas toujours facile, voire possible, lorsque les racines ne sont pas des nombres simples ou rationnels. Dans ce cas, d’autres méthodes sont nécessaires.

2. La Formule Quadratique (Discriminant)

La formule quadratique, également connue sous le nom de formule du discriminant, est une méthode universelle pour résoudre toute équation du second degré. Elle permet de trouver les racines, qu’elles soient réelles, distinctes, égales ou complexes.

La formule est la suivante :

x = (-b ± √Δ) / 2a

Où Δ (delta) est le discriminant, calculé par :

Δ = b² – 4ac

Interprétation du Discriminant

La valeur du discriminant nous renseigne sur la nature des racines :

• Si Δ > 0, l’équation a deux racines réelles distinctes.
• Si Δ = 0, l’équation a une racine réelle double (deux racines égales).
• Si Δ < 0, l’équation a deux racines complexes conjuguées.

Exemple d’Utilisation de la Formule Quadratique

Considérons l’équation :

2x² + 3x – 5 = 0

Dans cette équation, a = 2, b = 3 et c = -5.

1. Calcul du discriminant (Δ) :

   Δ = b² – 4ac = 3² – 4 * 2 * (-5) = 9 + 40 = 49

2. Calcul des racines :

   x = (-b ± √Δ) / 2a = (-3 ± √49) / (2 * 2) = (-3 ± 7) / 4

   Donc, nous avons deux solutions :

   x₁ = (-3 + 7) / 4 = 4 / 4 = 1

   x₂ = (-3 – 7) / 4 = -10 / 4 = -2.5

Les racines de l’équation 2x² + 3x – 5 = 0 sont donc 1 et -2.5.

3. La Complétion du Carré

La méthode de complétion du carré consiste à transformer l’équation du second degré en une forme où un côté est un carré parfait, ce qui permet de résoudre l’équation plus facilement. Bien qu’elle soit moins utilisée que la formule quadratique, elle est fondamentale pour comprendre l’origine de cette formule.

Démarche de la Complétion du Carré

Prenons l’équation générale :

ax² + bx + c = 0

1. Diviser par ‘a’ :

   Si a ≠ 1, diviser chaque terme de l’équation par ‘a’ :

   x² + (b/a)x + (c/a) = 0

2. Isoler les termes en x :

   Déplacer le terme constant (c/a) de l’autre côté de l’égalité :

   x² + (b/a)x = -(c/a)

3. Compléter le carré :

   Ajouter le carré de la moitié du coefficient de x de chaque côté de l’équation. La moitié du coefficient de x est (b/2a), son carré est (b/2a)² = b²/4a² :

   x² + (b/a)x + b²/4a² = -(c/a) + b²/4a²

4. Factoriser :

   Le côté gauche est maintenant un carré parfait :

   (x + b/2a)² = b²/4a² – (c/a)

5. Simplifier le côté droit :

   (x + b/2a)² = (b² – 4ac) / 4a²

6. Prendre la racine carrée :

   x + b/2a = ± √((b² – 4ac) / 4a²)

   x + b/2a = ± √(b² – 4ac) / 2a

7. Isoler x :

   x = -b/2a ± √(b² – 4ac) / 2a

   x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a

On retrouve ainsi la formule quadratique.

Exemple de Complétion du Carré

Considérons l’équation :

x² – 6x + 5 = 0

1. Isoler les termes en x :

   x² – 6x = -5

2. Compléter le carré :

   La moitié du coefficient de x est -6/2 = -3, et son carré est (-3)² = 9. Ajouter 9 de chaque côté de l’équation :

   x² – 6x + 9 = -5 + 9

3. Factoriser :

   (x – 3)² = 4

4. Prendre la racine carrée :

   x – 3 = ± √4

   x – 3 = ± 2

5. Isoler x :

   x = 3 ± 2

   Donc :

   x₁ = 3 + 2 = 5

   x₂ = 3 – 2 = 1

Les racines de l’équation x² – 6x + 5 = 0 sont donc 1 et 5.

Cas Particuliers

Équations du Second Degré Incomplètes

Une équation du second degré peut être incomplète si l’un des coefficients (b ou c) est égal à zéro.

• Cas où c = 0 : L’équation prend la forme ax² + bx = 0, qui peut être factorisée en x(ax + b) = 0. Les solutions sont alors x = 0 et x = -b/a.
• Cas où b = 0 : L’équation prend la forme ax² + c = 0, qui peut être résolue en isolant x² = -c/a. Les racines sont x = ± √(-c/a). Si -c/a est négatif, les racines seront complexes.

Équations avec des Coefficients Complexes

Les équations du second degré peuvent également avoir des coefficients complexes. Dans ce cas, la méthode de la formule quadratique reste applicable, en utilisant les règles de calcul pour les nombres complexes.

Conseils et Astuces

• Vérification : Après avoir trouvé les solutions, il est toujours bon de les vérifier en les remplaçant dans l’équation originale.
• Simplification : Si possible, simplifier l’équation avant de la résoudre pour faciliter les calculs.
• Outils : Des outils en ligne comme des calculateurs d’équations quadratiques peuvent être utiles pour vérifier vos résultats ou pour résoudre des équations complexes.
• Pratique : La résolution d’équations du second degré nécessite de la pratique. N’hésitez pas à vous exercer avec différents exemples pour maîtriser les différentes méthodes.

Conclusion

La résolution d’une équation du second degré est une compétence fondamentale en mathématiques. Que ce soit par la factorisation, la formule quadratique ou la complétion du carré, chaque méthode a ses spécificités et ses avantages. En pratiquant régulièrement et en comprenant les concepts fondamentaux, vous serez en mesure de résoudre toute équation quadratique avec confiance.

N’oubliez pas que la clé est la pratique et la compréhension des concepts. Continuez à vous exercer et à explorer les mathématiques, et vous deviendrez un expert en résolution d’équations du second degré !