बहुभुज में विकर्णों की संख्या कैसे ज्ञात करें: चरण-दर-चरण निर्देश

ज्यामिति में, बहुभुज एक बंद आकृति होती है जो सीधी रेखा खंडों से बनी होती है। त्रिभुज, चतुर्भुज, पंचभुज, षट्भुज आदि सभी बहुभुज के उदाहरण हैं। विकर्ण एक बहुभुज के दो गैर-आसन्न शीर्षों को जोड़ने वाला रेखा खंड होता है। किसी बहुभुज में कितने विकर्ण होते हैं, यह जानना कई ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी हो सकता है। इस लेख में, हम चरण-दर-चरण सीखेंगे कि किसी बहुभुज में विकर्णों की संख्या कैसे ज्ञात करें।

## चरण 1: बहुभुज के शीर्षों की संख्या ज्ञात करें

किसी बहुभुज में विकर्णों की संख्या ज्ञात करने का पहला कदम उसके शीर्षों (vertices) की संख्या ज्ञात करना है। एक शीर्ष वह बिंदु होता है जहां दो रेखा खंड मिलते हैं। उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज में 3 शीर्ष होते हैं, एक चतुर्भुज में 4 शीर्ष होते हैं, एक पंचभुज में 5 शीर्ष होते हैं, और इसी तरह।

यदि आपको बहुभुज का चित्र दिया गया है, तो आप बस उसके शीर्षों की गिनती कर सकते हैं। यदि आपको बहुभुज का नाम दिया गया है, तो आप नाम से ही उसके शीर्षों की संख्या ज्ञात कर सकते हैं। यहाँ कुछ सामान्य बहुभुजों और उनके शीर्षों की संख्या दी गई है:

* त्रिभुज: 3 शीर्ष
* चतुर्भुज: 4 शीर्ष
* पंचभुज: 5 शीर्ष
* षट्भुज: 6 शीर्ष
* सप्तभुज: 7 शीर्ष
* अष्टभुज: 8 शीर्ष
* नवभुज: 9 शीर्ष
* दशभुज: 10 शीर्ष

आदि।

## चरण 2: विकर्णों की संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करें

एक बार जब आप बहुभुज के शीर्षों की संख्या जान लेते हैं, तो आप विकर्णों की संख्या ज्ञात करने के लिए एक सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। सूत्र इस प्रकार है:

विकर्णों की संख्या = n(n – 3) / 2

जहां ‘n’ बहुभुज के शीर्षों की संख्या है।

यह सूत्र इस प्रकार काम करता है: प्रत्येक शीर्ष से (n-3) विकर्ण खींचे जा सकते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि आप स्वयं शीर्ष और उसके दो आसन्न शीर्षों को विकर्ण खींचने के लिए उपयोग नहीं कर सकते। इसलिए, कुल मिलाकर n(n-3) विकर्ण खींचे जा सकते हैं। हालाँकि, प्रत्येक विकर्ण को दो बार गिना जाता है (एक बार प्रत्येक शीर्ष के लिए जो इसे बनाता है)। इसलिए, हमें n(n-3) को 2 से विभाजित करना होगा ताकि सही संख्या मिल सके।

## चरण 3: सूत्र में मान रखें और हल करें

अब जब आपके पास सूत्र है, तो आपको बस बहुभुज के शीर्षों की संख्या को सूत्र में रखना है और इसे हल करना है।

**उदाहरण 1:** एक पंचभुज में कितने विकर्ण होते हैं?

हल:

एक पंचभुज में 5 शीर्ष होते हैं, इसलिए n = 5।

सूत्र में मान रखने पर:

विकर्णों की संख्या = 5(5 – 3) / 2

विकर्णों की संख्या = 5(2) / 2

विकर्णों की संख्या = 10 / 2

विकर्णों की संख्या = 5

इसलिए, एक पंचभुज में 5 विकर्ण होते हैं।

**उदाहरण 2:** एक अष्टभुज में कितने विकर्ण होते हैं?

हल:

एक अष्टभुज में 8 शीर्ष होते हैं, इसलिए n = 8।

सूत्र में मान रखने पर:

विकर्णों की संख्या = 8(8 – 3) / 2

विकर्णों की संख्या = 8(5) / 2

विकर्णों की संख्या = 40 / 2

विकर्णों की संख्या = 20

इसलिए, एक अष्टभुज में 20 विकर्ण होते हैं।

**उदाहरण 3:** एक दशभुज में कितने विकर्ण होते हैं?

हल:

एक दशभुज में 10 शीर्ष होते हैं, इसलिए n = 10।

सूत्र में मान रखने पर:

विकर्णों की संख्या = 10(10 – 3) / 2

विकर्णों की संख्या = 10(7) / 2

विकर्णों की संख्या = 70 / 2

विकर्णों की संख्या = 35

इसलिए, एक दशभुज में 35 विकर्ण होते हैं।

## वैकल्पिक विधि: शीर्ष से विकर्णों की गिनती करना

यदि आपको सूत्र याद नहीं है, तो आप किसी बहुभुज में विकर्णों की संख्या ज्ञात करने के लिए एक वैकल्पिक विधि का उपयोग कर सकते हैं। इस विधि में, आप बहुभुज के एक शीर्ष से निकलने वाले विकर्णों की संख्या की गणना करते हैं, और फिर इसे शीर्षों की संख्या से गुणा करते हैं। अंत में, आपको परिणाम को 2 से विभाजित करना होगा, क्योंकि प्रत्येक विकर्ण को दो बार गिना जाता है (एक बार प्रत्येक शीर्ष के लिए जो इसे बनाता है)।

**उदाहरण:** एक षट्भुज में कितने विकर्ण होते हैं?

हल:

1. एक षट्भुज में 6 शीर्ष होते हैं।
2. एक शीर्ष से निकलने वाले विकर्णों की संख्या 3 है (आप स्वयं शीर्ष और उसके दो आसन्न शीर्षों को विकर्ण खींचने के लिए उपयोग नहीं कर सकते)।
3. इसलिए, कुल मिलाकर 6 * 3 = 18 विकर्ण खींचे जा सकते हैं।
4. हालांकि, प्रत्येक विकर्ण को दो बार गिना जाता है, इसलिए हमें 18 को 2 से विभाजित करना होगा।
5. इसलिए, एक षट्भुज में 18 / 2 = 9 विकर्ण होते हैं।

हालांकि, यह विधि बड़ी संख्या वाले बहुभुजों के लिए थोड़ी कठिन हो सकती है, क्योंकि आपको प्रत्येक शीर्ष से विकर्णों को ध्यान से गिनना होगा। सूत्र का उपयोग करना आम तौर पर अधिक आसान और तेज़ होता है।

## सारांश

किसी बहुभुज में विकर्णों की संख्या ज्ञात करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

1. बहुभुज के शीर्षों की संख्या ज्ञात करें।
2. विकर्णों की संख्या के लिए सूत्र का उपयोग करें: विकर्णों की संख्या = n(n – 3) / 2, जहां ‘n’ बहुभुज के शीर्षों की संख्या है।
3. सूत्र में मान रखें और हल करें।

वैकल्पिक रूप से, आप एक शीर्ष से विकर्णों की गिनती कर सकते हैं, इसे शीर्षों की संख्या से गुणा कर सकते हैं, और फिर परिणाम को 2 से विभाजित कर सकते हैं।

## विभिन्न बहुभुजों के लिए उदाहरण

यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं जो विभिन्न बहुभुजों के लिए विकर्णों की संख्या की गणना करने में मदद करते हैं:

* **त्रिभुज (3 शीर्ष):**
* विकर्णों की संख्या = 3(3 – 3) / 2 = 3(0) / 2 = 0
* एक त्रिभुज में कोई विकर्ण नहीं होता है।
* **चतुर्भुज (4 शीर्ष):**
* विकर्णों की संख्या = 4(4 – 3) / 2 = 4(1) / 2 = 2
* एक चतुर्भुज में 2 विकर्ण होते हैं।
* **पंचभुज (5 शीर्ष):**
* विकर्णों की संख्या = 5(5 – 3) / 2 = 5(2) / 2 = 5
* एक पंचभुज में 5 विकर्ण होते हैं।
* **षट्भुज (6 शीर्ष):**
* विकर्णों की संख्या = 6(6 – 3) / 2 = 6(3) / 2 = 9
* एक षट्भुज में 9 विकर्ण होते हैं।
* **सप्तभुज (7 शीर्ष):**
* विकर्णों की संख्या = 7(7 – 3) / 2 = 7(4) / 2 = 14
* एक सप्तभुज में 14 विकर्ण होते हैं।
* **अष्टभुज (8 शीर्ष):**
* विकर्णों की संख्या = 8(8 – 3) / 2 = 8(5) / 2 = 20
* एक अष्टभुज में 20 विकर्ण होते हैं।

## विकर्णों की संख्या का महत्व

किसी बहुभुज में विकर्णों की संख्या विभिन्न ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। यह न केवल बहुभुज की जटिलता को समझने में मदद करता है, बल्कि त्रिकोणीयकरण (triangulation) जैसी तकनीकों में भी उपयोगी है। त्रिकोणीयकरण एक बहुभुज को त्रिकोणों में विभाजित करने की प्रक्रिया है, और विकर्णों की संख्या इस प्रक्रिया को कुशलतापूर्वक करने में मदद करती है।

इसके अतिरिक्त, विकर्णों की संख्या का ज्ञान बहुभुजों के गुणों का अध्ययन करने में भी सहायक होता है, जैसे कि उनकी आंतरिक कोणों का योग। आंतरिक कोणों का योग (n – 2) * 180° होता है, जहां ‘n’ बहुभुज के शीर्षों की संख्या है। विकर्णों की संख्या के साथ, आप बहुभुज के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त कर सकते हैं और विभिन्न ज्यामितीय समस्याओं को आसानी से हल कर सकते हैं।

## अभ्यास के लिए प्रश्न

यहाँ कुछ अभ्यास प्रश्न दिए गए हैं ताकि आप विकर्णों की संख्या ज्ञात करने की विधि का अभ्यास कर सकें:

1. एक नवभुज (9 शीर्ष) में कितने विकर्ण होते हैं?
2. एक द्वादशभुज (12 शीर्ष) में कितने विकर्ण होते हैं?
3. एक 20-भुज में कितने विकर्ण होते हैं?
4. एक बहुभुज में 27 विकर्ण हैं। उस बहुभुज में कितने शीर्ष हैं?
5. एक बहुभुज में 44 विकर्ण हैं। उस बहुभुज में कितने शीर्ष हैं?

## निष्कर्ष

किसी बहुभुज में विकर्णों की संख्या ज्ञात करना एक सरल प्रक्रिया है जो ज्यामिति की कई समस्याओं को हल करने में मदद करती है। चाहे आप गणित के छात्र हों या ज्यामिति के शौकीन, यह ज्ञान आपके लिए उपयोगी साबित होगा। सूत्र का उपयोग करके या शीर्ष से विकर्णों की गिनती करके, आप आसानी से किसी भी बहुभुज में विकर्णों की संख्या ज्ञात कर सकते हैं। हमें उम्मीद है कि यह लेख आपको बहुभुजों के बारे में अधिक समझने में मदद करेगा और आप इसे अपने गणितीय अध्ययन में उपयोगी पाएंगे। ज्यामिति के क्षेत्र में आगे बढ़ते रहें और नई चीजें सीखते रहें!