Dominando la División de Logaritmos: Guía Paso a Paso con Ejemplos

Los logaritmos, esos exponentes misteriosos que nos permiten trabajar con números de manera más eficiente, pueden parecer complejos a primera vista. Sin embargo, una vez que comprendemos sus propiedades fundamentales, podemos manipularlos con facilidad. En este artículo, nos sumergiremos en el mundo de la división de logaritmos, explorando las reglas y técnicas que te permitirán resolver problemas de manera efectiva. Ya seas estudiante, entusiasta de las matemáticas o simplemente alguien que busca refrescar sus conocimientos, esta guía detallada te será de gran utilidad.

¿Qué es un Logaritmo? Un Breve Repaso

Antes de abordar la división, recapitulemos qué es un logaritmo. En esencia, un logaritmo responde a la pregunta: “¿A qué exponente debo elevar la base para obtener un número dado?”. Formalmente, si tenemos la expresión:

b^x = a

Entonces, el logaritmo en base b de a se escribe como:

log_b(a) = x

Donde:

• b es la base del logaritmo (debe ser un número positivo diferente de 1).
• a es el argumento o antilogaritmo (debe ser un número positivo).
• x es el logaritmo.

Por ejemplo, log₂(8) = 3, porque 2³ = 8. Los logaritmos pueden ser decimales, pero en la práctica, se usan mayormente los logaritmos de base 10 (logaritmos comunes, representados como log(a) o log₁₀(a)) y los logaritmos de base e (logaritmos naturales, representados como ln(a) o log_e(a)).

La Propiedad Clave: La Resta de Logaritmos

La clave para la división de logaritmos radica en una de las propiedades fundamentales de los logaritmos: la resta de logaritmos corresponde a la división de sus argumentos. Formalmente, esta propiedad se expresa como:

log_b(a) – log_b(c) = log_b(a/c)

Donde:

• b es la base del logaritmo (debe ser la misma en ambos logaritmos).
• a y c son los argumentos (deben ser números positivos).

Es crucial entender que esta propiedad solo se aplica cuando los logaritmos tienen la misma base. No podemos combinar logaritmos con diferentes bases mediante esta regla.

Casos Específicos y Ejemplos Detallados

Ahora, veamos cómo aplicar esta propiedad en diferentes escenarios, paso a paso, con ejemplos prácticos.

Caso 1: División Directa Usando la Propiedad

El caso más sencillo es cuando tenemos una resta de logaritmos con la misma base. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 1: Calcular log₂(32) – log₂(4)

Paso 1: Aplicamos la propiedad de resta de logaritmos:

log₂(32) – log₂(4) = log₂(32/4)

Paso 2: Realizamos la división:

log₂(32/4) = log₂(8)

Paso 3: Calculamos el logaritmo resultante:

log₂(8) = 3 (ya que 2³ = 8)

Resultado: log₂(32) – log₂(4) = 3

Ejemplo 2: Calcular log(1000) – log(10) (Nota: cuando no se indica la base, asumimos que es base 10)

Paso 1: Aplicamos la propiedad de resta de logaritmos:

log(1000) – log(10) = log(1000/10)

Paso 2: Realizamos la división:

log(1000/10) = log(100)

Paso 3: Calculamos el logaritmo resultante:

log(100) = 2 (ya que 10² = 100)

Resultado: log(1000) – log(10) = 2

Caso 2: División de Logaritmos con Coeficientes

A veces, los logaritmos tienen coeficientes que los multiplican. En este caso, primero aplicamos la propiedad del exponente de los logaritmos para llevar los coeficientes al exponente del argumento y luego aplicamos la propiedad de resta de logaritmos.

La propiedad del exponente de los logaritmos establece que:

n * log_b(a) = log_b(aⁿ)

Ejemplo 3: Calcular 2 * log₃(9) – log₃(27)

Paso 1: Aplicamos la propiedad del exponente al primer término:

2 * log₃(9) = log₃(9²) = log₃(81)

Paso 2: Reescribimos la expresión:

log₃(81) – log₃(27)

Paso 3: Aplicamos la propiedad de resta de logaritmos:

log₃(81) – log₃(27) = log₃(81/27)

Paso 4: Realizamos la división:

log₃(81/27) = log₃(3)

Paso 5: Calculamos el logaritmo resultante:

log₃(3) = 1 (ya que 3¹ = 3)

Resultado: 2 * log₃(9) – log₃(27) = 1

Ejemplo 4: Calcular 3 * log(2) – log(4) + log(12.5) – 2 * log(5)

Paso 1: Aplicamos la propiedad del exponente:

log(2³) – log(4) + log(12.5) – log(5²)

log(8) – log(4) + log(12.5) – log(25)

Paso 2: Combinamos las restas y las sumas usando las propiedades de logaritmos, recordando que sumar logaritmos es multiplicar los argumentos y restar es dividir.

log (8*12.5/4/25)

Paso 3: Realizamos las operaciones aritmeticas dentro del argumento

log (100/100) = log(1)

Paso 4: Calculamos el logaritmo resultante:

log(1) = 0 (ya que 10⁰ = 1)

Resultado: 3 * log(2) – log(4) + log(12.5) – 2 * log(5) = 0

Caso 3: Cambiando la Base del Logaritmo (Cuando es Necesario)

Si nos encontramos con logaritmos de diferentes bases, la propiedad de resta directa no se puede aplicar. En ese caso, debemos utilizar la fórmula de cambio de base para expresar todos los logaritmos en una misma base. La fórmula de cambio de base es:

log_b(a) = log_c(a) / log_c(b)

Donde c es la nueva base que elegimos. Normalmente, se elige base 10 o base e para facilitar los cálculos con una calculadora.

Ejemplo 5: Calcular log₂(16) – log₄(16)

Paso 1: Aplicamos la fórmula de cambio de base para cambiar ambos logaritmos a base 10 (podríamos elegir cualquier otra base).:

log₂(16) = log(16) / log(2)

log₄(16) = log(16) / log(4)

Paso 2: Sustituimos en la expresión original:

log(16) / log(2) – log(16) / log(4)

Paso 3: Calculamos los logaritmos con una calculadora (usaremos cuatro decimales):

1.2041 / 0.3010 – 1.2041 / 0.6021 ≈ 4 – 2

Paso 4: Realizamos la resta:

4 – 2 = 2

Resultado: log₂(16) – log₄(16) = 2

Nota: En este caso, podriamos simplificar el logaritmo original sin pasar a la base 10. log₂(16) = 4 porque 2⁴=16. log₄(16) = 2 porque 4² = 16. Entonces 4-2 = 2. Esto sirve para verificar que el resultado es correcto.

Caso 4: Simplificación Antes de Dividir

A veces, antes de aplicar directamente la propiedad de resta, es útil simplificar los logaritmos o sus argumentos. Esto puede hacer los cálculos más sencillos.

Ejemplo 6: Calcular log₃(81²) – log₃(9³)

Paso 1: Aplicamos la propiedad del exponente:

log₃(81²) = 2*log₃(81)

log₃(9³) = 3*log₃(9)

Paso 2: Calculamos los logaritmos:

log₃(81) = 4 porque 3⁴ = 81

log₃(9) = 2 porque 3² = 9

Paso 3: Reemplazamos en la ecuacion original:

2*4 – 3*2 = 8 – 6

Paso 4: Realizamos la resta:

8 – 6 = 2

Resultado: log₃(81²) – log₃(9³) = 2

Consejos y Consideraciones Importantes

• Verifica la Base: Asegúrate de que todos los logaritmos involucrados tengan la misma base antes de aplicar la propiedad de la resta.
• Orden de las Operaciones: Respeta el orden de las operaciones (paréntesis, exponentes, multiplicaciones/divisiones, sumas/restas) al resolver problemas de logaritmos.
• Simplificación: Simplifica los argumentos y aplica las propiedades de los logaritmos antes de realizar cálculos extensos.
• Calculadora: Usa una calculadora para calcular logaritmos decimales o de otras bases no comunes.
• Dominio: Recuerda que el argumento de un logaritmo siempre debe ser un número positivo.

Ejercicios de Práctica

Para consolidar tus conocimientos, resuelve los siguientes ejercicios:

1. Calcular: log₅(125) – log₅(25)
2. Calcular: 3 * log(10) – log(100)
3. Calcular: log₂(64) – log₄(64)
4. Calcular: 2 * ln(e³) – ln(e²)
5. Calcular: log(1000) – 2*log(10) + log(1/10)

(Las soluciones se encuentran al final del artículo)

Aplicaciones de la División de Logaritmos

La división de logaritmos, aunque parece una operación abstracta, tiene aplicaciones prácticas en diversas áreas:

• Escalas Logarítmicas: Se usan para representar datos que abarcan un rango muy amplio, como la escala de Richter para medir la magnitud de terremotos, o la escala de decibeles para medir el nivel de sonido. El cálculo con estas escalas involucra operaciones con logaritmos, incluyendo la resta, que se transforma en divisiones.
• Química: En el cálculo del pH, que mide la acidez o alcalinidad de una sustancia, se utilizan logaritmos.
• Finanzas: En el cálculo del interés compuesto y el crecimiento exponencial, los logaritmos son herramientas fundamentales.
• Ingeniería: En el análisis de circuitos eléctricos y en el procesamiento de señales, los logaritmos permiten trabajar con rangos amplios de valores.
• Informática: En el análisis de algoritmos, se usan logaritmos para medir la eficiencia de un programa.

Conclusión

La división de logaritmos, lejos de ser un obstáculo, se convierte en una herramienta poderosa cuando se comprenden sus reglas y propiedades. La propiedad fundamental, que relaciona la resta de logaritmos con la división de sus argumentos, es esencial para resolver una variedad de problemas. Con práctica y paciencia, dominarás la manipulación de logaritmos y podrás aplicarlos en diversas situaciones del mundo real. No dudes en repasar esta guía, practicar los ejercicios y explorar ejemplos adicionales para solidificar tu conocimiento.

Soluciones de los Ejercicios de Práctica

1. log₅(125) – log₅(25) = log₅(125/25) = log₅(5) = 1
2. 3 * log(10) – log(100) = log(10³) – log(100) = log(1000) – log(100) = log(1000/100) = log(10) = 1
3. log₂(64) – log₄(64) = log(64)/log(2) – log(64)/log(4) = 6 – 3 = 3 ( o bien, log₂(64)=6 y log₄(64)=3 , luego 6 – 3 = 3)
4. 2 * ln(e³) – ln(e²) = 2*3*ln(e) – 2*ln(e) = 6 – 2 = 4 (recordar que ln(e)=1)
5. log(1000) – 2*log(10) + log(1/10) = log(1000) – log(100) + log(1/10) = log(1000 * (1/10) / 100) = log(100/100) = log(1) = 0