पूर्ण वर्ग बनाने की विधि: विस्तृत चरण और निर्देश

गणित में, “पूर्ण वर्ग बनाना” एक बीजगणितीय तकनीक है जिसका उपयोग द्विघात समीकरणों, फलनों और व्यंजकों को हल करने, सरल बनाने या समझने के लिए किया जाता है। यह तकनीक विशेष रूप से तब उपयोगी होती है जब द्विघात समीकरण आसानी से गुणनखंडित नहीं होते हैं। इस लेख में, हम पूर्ण वर्ग बनाने की विधि को विस्तृत चरणों और उदाहरणों के साथ समझेंगे।

पूर्ण वर्ग क्या है?

पूर्ण वर्ग एक ऐसा व्यंजक होता है जिसे किसी अन्य व्यंजक के वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए:

* (x + 2)² = x² + 4x + 4 (यहाँ, x² + 4x + 4 एक पूर्ण वर्ग है)
* (y – 3)² = y² – 6y + 9 (यहाँ, y² – 6y + 9 एक पूर्ण वर्ग है)

पूर्ण वर्ग बनाने का मुख्य उद्देश्य यह है कि हम किसी भी द्विघात व्यंजक को इस रूप में परिवर्तित कर सकें ताकि उसे आसानी से हल किया जा सके।

पूर्ण वर्ग बनाने के चरण

किसी द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

**चरण 1: सुनिश्चित करें कि x² का गुणांक 1 है**

यदि x² का गुणांक 1 नहीं है, तो पूरे व्यंजक को उस गुणांक से विभाजित करें। उदाहरण के लिए, यदि आपके पास 2x² + 8x + 6 है, तो इसे 2 से विभाजित करके x² + 4x + 3 बनाएं।

**चरण 2: x के गुणांक को आधा करें**

x के गुणांक को 2 से विभाजित करें। मान लीजिए कि x का गुणांक ‘b’ है, तो इसे b/2 करें।

**चरण 3: (b/2) का वर्ग ज्ञात करें**

चरण 2 में प्राप्त मान (b/2) का वर्ग ज्ञात करें, यानी (b/2)²।

**चरण 4: (b/2)² को जोड़ें और घटाएं**

अब (b/2)² को व्यंजक में जोड़ें और घटाएं। इससे व्यंजक का मान नहीं बदलेगा, लेकिन यह हमें पूर्ण वर्ग बनाने में मदद करेगा।

**चरण 5: पूर्ण वर्ग बनाएं**

पहले तीन पदों को एक पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें। यह (x + b/2)² या (x – b/2)² के रूप में होगा, जो इस बात पर निर्भर करता है कि x का गुणांक धनात्मक है या ऋणात्मक।

**चरण 6: स्थिरांक को सरल बनाएं**

व्यंजक में बचे हुए स्थिरांक को सरल बनाएं।

उदाहरण

आइए कुछ उदाहरणों के साथ पूर्ण वर्ग बनाने की विधि को समझते हैं।

**उदाहरण 1: x² + 6x + 5 को पूर्ण वर्ग बनाएं**

1. **x² का गुणांक:** यहाँ x² का गुणांक 1 है, इसलिए हमें इसे विभाजित करने की आवश्यकता नहीं है।
2. **x का गुणांक:** x का गुणांक 6 है।
3. **गुणांक को आधा करें:** 6/2 = 3
4. **(3)² ज्ञात करें:** 3² = 9
5. **9 को जोड़ें और घटाएं:**
x² + 6x + 9 – 9 + 5
6. **पूर्ण वर्ग बनाएं:**
(x + 3)² – 9 + 5
7. **स्थिरांक को सरल बनाएं:**
(x + 3)² – 4

अतः, x² + 6x + 5 का पूर्ण वर्ग रूप (x + 3)² – 4 है।

**उदाहरण 2: x² – 8x + 12 को पूर्ण वर्ग बनाएं**

1. **x² का गुणांक:** यहाँ x² का गुणांक 1 है।
2. **x का गुणांक:** x का गुणांक -8 है।
3. **गुणांक को आधा करें:** -8/2 = -4
4. **(-4)² ज्ञात करें:** (-4)² = 16
5. **16 को जोड़ें और घटाएं:**
x² – 8x + 16 – 16 + 12
6. **पूर्ण वर्ग बनाएं:**
(x – 4)² – 16 + 12
7. **स्थिरांक को सरल बनाएं:**
(x – 4)² – 4

अतः, x² – 8x + 12 का पूर्ण वर्ग रूप (x – 4)² – 4 है।

**उदाहरण 3: 2x² + 12x + 10 को पूर्ण वर्ग बनाएं**

1. **x² का गुणांक:** यहाँ x² का गुणांक 2 है। इसे 1 बनाने के लिए पूरे व्यंजक को 2 से विभाजित करें:
x² + 6x + 5
2. **x का गुणांक:** x का गुणांक 6 है।
3. **गुणांक को आधा करें:** 6/2 = 3
4. **(3)² ज्ञात करें:** 3² = 9
5. **9 को जोड़ें और घटाएं:**
x² + 6x + 9 – 9 + 5
6. **पूर्ण वर्ग बनाएं:**
(x + 3)² – 9 + 5
7. **स्थिरांक को सरल बनाएं:**
(x + 3)² – 4

अब, हमें याद रखना होगा कि हमने शुरुआत में व्यंजक को 2 से विभाजित किया था। इसलिए, हमें इस परिणाम को 2 से गुणा करना होगा:

2[(x + 3)² – 4] = 2(x + 3)² – 8

अतः, 2x² + 12x + 10 का पूर्ण वर्ग रूप 2(x + 3)² – 8 है।

पूर्ण वर्ग बनाने के अनुप्रयोग

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग कई गणितीय समस्याओं को हल करने में किया जाता है, जिनमें शामिल हैं:

* **द्विघात समीकरणों को हल करना:** पूर्ण वर्ग बनाने की विधि से हम द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कर सकते हैं, खासकर जब वे आसानी से गुणनखंडित नहीं होते हैं।
* **परवलय का शीर्ष ज्ञात करना:** परवलय (Parabola) के समीकरण को पूर्ण वर्ग रूप में परिवर्तित करके हम आसानी से इसके शीर्ष (vertex) का निर्देशांक ज्ञात कर सकते हैं।
* **समाकल (Integrals) को हल करना:** कुछ समाकलों को हल करने के लिए पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग किया जाता है।
* **वृत्त का समीकरण:** वृत्त के समीकरण को समझने और उसे हल करने में यह विधि उपयोगी है।

पूर्ण वर्ग विधि से द्विघात समीकरणों को हल करना

मान लीजिए कि हमारे पास एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 है। इसे पूर्ण वर्ग विधि से हल करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:

1. **x² का गुणांक 1 बनाएं:** समीकरण को a से विभाजित करें:
x² + (b/a)x + (c/a) = 0
2. **स्थिरांक को दूसरी ओर ले जाएं:**
x² + (b/a)x = -(c/a)
3. **x के गुणांक को आधा करें और वर्ग करें:** (b/2a)²
4. **दोनों तरफ (b/2a)² जोड़ें:**
x² + (b/a)x + (b/2a)² = -(c/a) + (b/2a)²
5. **बाएं हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें:**
(x + b/2a)² = -(c/a) + (b²/4a²)
6. **दाएं हाथ की ओर को सरल बनाएं:**
(x + b/2a)² = (b² – 4ac) / 4a²
7. **दोनों तरफ वर्गमूल लें:**
x + b/2a = ±√((b² – 4ac) / 4a²)
8. **x के लिए हल करें:**
x = -b/2a ± √(b² – 4ac) / 2a

यह सूत्र द्विघात समीकरण के मूलों को ज्ञात करने के लिए प्रसिद्ध द्विघात सूत्र (quadratic formula) है।

उदाहरण: द्विघात समीकरण को पूर्ण वर्ग विधि से हल करना

समीकरण: x² + 4x – 5 = 0

1. **x² का गुणांक पहले से ही 1 है।**
2. **स्थिरांक को दूसरी ओर ले जाएं:**
x² + 4x = 5
3. **x के गुणांक को आधा करें और वर्ग करें:** (4/2)² = 4
4. **दोनों तरफ 4 जोड़ें:**
x² + 4x + 4 = 5 + 4
5. **बाएं हाथ की ओर को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें:**
(x + 2)² = 9
6. **दोनों तरफ वर्गमूल लें:**
x + 2 = ±3
7. **x के लिए हल करें:**
x = -2 ± 3

अतः, समीकरण के मूल x = 1 और x = -5 हैं।

कुछ और टिप्स

* **अभ्यास:** पूर्ण वर्ग बनाने की विधि को अच्छी तरह से समझने के लिए अधिक से अधिक प्रश्नों का अभ्यास करें।
* **सावधानी:** चरणों का पालन करते समय सावधानी बरतें, खासकर जब ऋणात्मक चिह्नों के साथ काम कर रहे हों।
* **सत्यापन:** अपने उत्तरों को सत्यापित करने के लिए उन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करें।

निष्कर्ष

पूर्ण वर्ग बनाने की विधि एक महत्वपूर्ण बीजगणितीय तकनीक है जिसका उपयोग द्विघात समीकरणों और व्यंजकों को सरल बनाने और हल करने में किया जाता है। इस लेख में, हमने इसके चरणों को विस्तृत रूप से समझा और उदाहरणों के साथ स्पष्ट किया। अभ्यास और सावधानी के साथ, आप इस विधि में महारत हासिल कर सकते हैं और गणितीय समस्याओं को आसानी से हल कर सकते हैं। यह तकनीक न केवल अकादमिक दृष्टिकोण से महत्वपूर्ण है, बल्कि यह विभिन्न क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोगों में भी उपयोगी है।