Вывод формулы для корней квадратного уравнения: пошаговая инструкция
Квадратное уравнение – один из фундаментальных концептов в алгебре. Умение решать квадратные уравнения необходимо в различных областях математики, физики и инженерии. Часто мы просто запоминаем формулу для нахождения корней, но понимание того, как она выводится, значительно углубляет понимание самой алгебры. В этой статье мы подробно, шаг за шагом, выведем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.
Что такое квадратное уравнение?
Квадратное уравнение – это полиномиальное уравнение второй степени. В общем виде оно записывается так:
ax² + bx + c = 0
Где:
* `x` – переменная (неизвестная), которую мы хотим найти.
* `a`, `b` и `c` – коэффициенты, причем `a ≠ 0` (иначе уравнение станет линейным).
Корни квадратного уравнения – это значения `x`, которые удовлетворяют этому уравнению, то есть при подстановке этих значений в уравнение, оно превращается в верное равенство (0 = 0).
Метод выделения полного квадрата
Основным методом, который мы будем использовать для вывода формулы, является метод выделения полного квадрата. Суть этого метода заключается в преобразовании исходного уравнения к виду, где одна часть является полным квадратом, а другая – константой.
**Шаг 1: Разделим обе части уравнения на `a`**
Чтобы упростить уравнение, разделим обе его части на коэффициент `a` (так как `a ≠ 0`, это допустимая операция):
x² + (b/a)x + (c/a) = 0
**Шаг 2: Перенесем константу `c/a` в правую часть уравнения**
x² + (b/a)x = – (c/a)
**Шаг 3: Добавим (b/2a)² к обеим частям уравнения**
Этот шаг – ключевой в методе выделения полного квадрата. Мы хотим получить в левой части выражение, которое можно свернуть в квадрат суммы. Чтобы это сделать, нам нужно добавить квадрат половины коэффициента при `x` к обеим частям уравнения. Коэффициент при `x` у нас равен `b/a`, поэтому его половина равна `b/2a`, а квадрат этой половины равен `(b/2a)² = b²/4a²`.
x² + (b/a)x + (b²/4a²) = – (c/a) + (b²/4a²)
**Шаг 4: Свернем левую часть уравнения в квадрат суммы**
Теперь левая часть уравнения представляет собой полный квадрат:
(x + b/2a)² = – (c/a) + (b²/4a²)
**Шаг 5: Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю**
В правой части уравнения у нас сумма двух дробей с разными знаменателями. Приведем их к общему знаменателю `4a²`:
(x + b/2a)² = (-4ac/4a²) + (b²/4a²)
(x + b/2a)² = (b² – 4ac) / 4a²
**Шаг 6: Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения**
x + b/2a = ±√(b² – 4ac) / √(4a²)
x + b/2a = ±√(b² – 4ac) / 2a
Обратите внимание на знак `±` перед квадратным корнем. Это означает, что у нас есть два возможных решения, так как квадратный корень из числа может быть как положительным, так и отрицательным.
**Шаг 7: Выразим `x`**
Перенесем `b/2a` в правую часть уравнения:
x = – (b/2a) ± √(b² – 4ac) / 2a
**Шаг 8: Приведем правую часть уравнения к общему знаменателю**
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Формула корней квадратного уравнения
Итак, мы получили знаменитую формулу для нахождения корней квадратного уравнения:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Эта формула позволяет найти корни любого квадратного уравнения вида `ax² + bx + c = 0`.
Дискриминант
Выражение под квадратным корнем, `b² – 4ac`, называется дискриминантом квадратного уравнения и обозначается буквой `D`:
D = b² – 4ac
Дискриминант играет важную роль, так как он определяет количество и тип корней квадратного уравнения:
* Если `D > 0`, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
* Если `D = 0`, то уравнение имеет один вещественный корень (или два совпадающих корня).
* Если `D < 0`, то уравнение не имеет вещественных корней (имеет два комплексных корня).
Применение формулы
Рассмотрим пример. Решим уравнение `2x² + 5x – 3 = 0`.
В этом уравнении `a = 2`, `b = 5` и `c = -3`.
Сначала найдем дискриминант:
D = b² – 4ac = 5² – 4 * 2 * (-3) = 25 + 24 = 49
Так как `D > 0`, уравнение имеет два различных вещественных корня.
Теперь найдем корни, используя формулу:
x = (-b ± √D) / 2a = (-5 ± √49) / (2 * 2) = (-5 ± 7) / 4
Таким образом, мы получаем два корня:
x₁ = (-5 + 7) / 4 = 2 / 4 = 1/2
x₂ = (-5 – 7) / 4 = -12 / 4 = -3
Итак, корни уравнения `2x² + 5x – 3 = 0` равны `1/2` и `-3`.
Заключение
Мы подробно рассмотрели вывод формулы для нахождения корней квадратного уравнения. Понимание этого вывода позволяет не просто запомнить формулу, но и понять, откуда она берется и почему она работает. Метод выделения полного квадрата – мощный инструмент, который может быть использован для решения различных математических задач. Знание дискриминанта позволяет определить тип корней квадратного уравнения без необходимости их вычисления. Надеемся, эта статья помогла вам углубить свои знания в алгебре и научиться решать квадратные уравнения более уверенно.