Calculer la distance entre deux points : Guide complet avec exemples et outils

Calculer la distance entre deux points est une opération fondamentale dans de nombreux domaines, allant des mathématiques et de la physique à la géographie et à la programmation. Que vous souhaitiez déterminer la distance entre deux villes sur une carte, la longueur d’un segment de droite dans un espace 2D ou 3D, ou implémenter un algorithme de navigation, comprendre les principes et les méthodes de calcul de distance est essentiel. Cet article vous propose un guide complet, étape par étape, avec des exemples concrets et des outils pratiques pour maîtriser ce concept.

1. Concepts fondamentaux : Repères et coordonnées

Avant de plonger dans les formules, il est crucial de comprendre les systèmes de coordonnées. Un système de coordonnées permet de localiser précisément un point dans l’espace. Les systèmes les plus courants sont:

* **Système de coordonnées cartésiennes (2D) :** Utilisé sur un plan, il se base sur deux axes perpendiculaires, l’axe des abscisses (x) et l’axe des ordonnées (y). Chaque point est défini par une paire de coordonnées (x, y).
* **Système de coordonnées cartésiennes (3D) :** Extension du système 2D, il ajoute un troisième axe, l’axe des cotes (z), perpendiculaire aux deux autres. Chaque point est défini par un triplet de coordonnées (x, y, z).
* **Système de coordonnées géographiques :** Utilisé pour localiser des points sur la surface de la Terre. Il se base sur la latitude (angle par rapport à l’équateur) et la longitude (angle par rapport au méridien de Greenwich). Les coordonnées sont exprimées en degrés, minutes et secondes (DMS) ou en degrés décimaux (DD).

Pour calculer une distance, il est impératif de connaître les coordonnées des points dans le même système.

2. Calcul de la distance en 2D : La formule de distance euclidienne

La distance euclidienne est la distance “à vol d’oiseau” entre deux points. Dans un plan (2D), elle se calcule à l’aide du théorème de Pythagore.

**Soient deux points A(x₁, y₁) et B(x₂, y₂). La distance d entre A et B est donnée par la formule suivante :**

d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)

**Explication de la formule :**

1. **Calculer la différence des abscisses :** (x₂ – x₁)
2. **Calculer la différence des ordonnées :** (y₂ – y₁)
3. **Élever au carré chaque différence :** (x₂ – x₁)² et (y₂ – y₁)²
4. **Additionner les carrés des différences :** (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²
5. **Prendre la racine carrée de la somme :** √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²)

**Exemple :**

Soient les points A(1, 2) et B(4, 6). Calculons la distance entre A et B.

1. x₂ – x₁ = 4 – 1 = 3
2. y₂ – y₁ = 6 – 2 = 4
3. (x₂ – x₁)² = 3² = 9
4. (y₂ – y₁)² = 4² = 16
5. (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² = 9 + 16 = 25
6. d = √25 = 5

La distance entre A et B est de 5 unités.

**Implémentation en Python :**

python
import math

def distance_2d(x1, y1, x2, y2):
“””Calcule la distance euclidienne entre deux points en 2D.”””
return math.sqrt((x2 – x1)**2 + (y2 – y1)**2)

# Exemple d’utilisation
x1, y1 = 1, 2
x2, y2 = 4, 6
distance = distance_2d(x1, y1, x2, y2)
print(f”La distance entre ({x1}, {y1}) et ({x2}, {y2}) est : {distance}”) # Output: La distance entre (1, 2) et (4, 6) est : 5.0

3. Calcul de la distance en 3D : Extension de la formule euclidienne

La formule de distance euclidienne peut être étendue à un espace 3D. La logique reste la même, mais on ajoute la différence des cotes (z).

**Soient deux points A(x₁, y₁, z₁) et B(x₂, y₂, z₂). La distance d entre A et B est donnée par la formule suivante :**

d = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²)

**Explication de la formule :**

1. **Calculer la différence des abscisses :** (x₂ – x₁)
2. **Calculer la différence des ordonnées :** (y₂ – y₁)
3. **Calculer la différence des cotes :** (z₂ – z₁)
4. **Élever au carré chaque différence :** (x₂ – x₁)² , (y₂ – y₁)² et (z₂ – z₁)²
5. **Additionner les carrés des différences :** (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²
6. **Prendre la racine carrée de la somme :** √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²)

**Exemple :**

Soient les points A(1, 2, 3) et B(4, 6, 5). Calculons la distance entre A et B.

1. x₂ – x₁ = 4 – 1 = 3
2. y₂ – y₁ = 6 – 2 = 4
3. z₂ – z₁ = 5 – 3 = 2
4. (x₂ – x₁)² = 3² = 9
5. (y₂ – y₁)² = 4² = 16
6. (z₂ – z₁)² = 2² = 4
7. (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)² = 9 + 16 + 4 = 29
8. d = √29 ≈ 5.39

La distance entre A et B est d’environ 5.39 unités.

**Implémentation en Python :**

python
import math

def distance_3d(x1, y1, z1, x2, y2, z2):
“””Calcule la distance euclidienne entre deux points en 3D.”””
return math.sqrt((x2 – x1)**2 + (y2 – y1)**2 + (z2 – z1)**2)

# Exemple d’utilisation
x1, y1, z1 = 1, 2, 3
x2, y2, z2 = 4, 6, 5
distance = distance_3d(x1, y1, z1, x2, y2, z2)
print(f”La distance entre ({x1}, {y1}, {z1}) et ({x2}, {y2}, {z2}) est : {distance}”) # Output: La distance entre (1, 2, 3) et (4, 6, 5) est : 5.385164807134504

4. Calcul de la distance entre des coordonnées géographiques : La formule de Haversine

Calculer la distance entre deux points définis par leur latitude et longitude est plus complexe que dans un espace cartésien, car la Terre est une sphère (approximativement). La formule de Haversine est une méthode couramment utilisée pour calculer la distance du grand cercle (la distance la plus courte le long de la surface de la sphère) entre deux points sur une sphère à partir de leurs latitudes et longitudes.

**Formule de Haversine :**

a = sin²(Δφ/2) + cos φ₁ ⋅ cos φ₂ ⋅ sin²(Δλ/2)
c = 2 ⋅ atan2( √a, √(1−a) )
d = R ⋅ c

Où :

* φ est la latitude,
* λ est la longitude,
* R est le rayon de la Terre (rayon moyen = 6371km) ;
* Δφ est la différence de latitude entre les deux points ;
* Δλ est la différence de longitude entre les deux points ;
* atan2 est une fonction trigonométrique qui renvoie l’angle en radians à partir des composantes cartésiennes.

**Étapes pour calculer la distance en utilisant la formule de Haversine :**

1. **Convertir les latitudes et longitudes en radians :** La formule utilise les angles en radians, donc il est nécessaire de convertir les degrés en radians en utilisant la formule :
`radians = (degrees * pi) / 180`
2. **Calculer les différences de latitude et de longitude :**
`Δφ = φ₂ – φ₁`
`Δλ = λ₂ – λ₁`
3. **Appliquer la formule de Haversine :** Calculer ‘a’, ‘c’ et enfin ‘d’ en utilisant les formules ci-dessus.

**Exemple :**

Calculons la distance entre Paris (48.8566° N, 2.3522° E) et New York (40.7128° N, -74.0060° E).

1. **Convertir en radians :**
* Paris Latitude: 48.8566° -> 0.8526 rad
* Paris Longitude: 2.3522° -> 0.0410 rad
* New York Latitude: 40.7128° -> 0.7104 rad
* New York Longitude: -74.0060° -> -1.2915 rad

2. **Calculer les différences :**
* Δφ = 0.7104 – 0.8526 = -0.1422 rad
* Δλ = -1.2915 – 0.0410 = -1.3325 rad

3. **Appliquer la formule de Haversine :**
* a = sin²(-0.1422/2) + cos(0.8526) ⋅ cos(0.7104) ⋅ sin²(-1.3325/2) ≈ 0.3358
* c = 2 ⋅ atan2(√0.3358, √(1-0.3358)) ≈ 1.2416
* d = 6371 ⋅ 1.2416 ≈ 7909 km

La distance entre Paris et New York est d’environ 5859 km (en ligne droite à travers la Terre ce qui n’est pas réaliste pour un voyage en avion). La formule de Haversine calcule la distance du grand cercle, qui est une approximation plus précise que simplement traiter les coordonnées comme des points dans un espace cartésien.

**Implémentation en Python :**

python
import math

def haversine(lat1, lon1, lat2, lon2):
“””Calcule la distance du grand cercle entre deux points sur la Terre (en kilomètres).

Args:
lat1: Latitude du premier point en degrés.
lon1: Longitude du premier point en degrés.
lat2: Latitude du deuxième point en degrés.
lon2: Longitude du deuxième point en degrés.

Returns:
La distance entre les deux points en kilomètres.
“””
R = 6371 # Rayon de la Terre en kilomètres
lat1_rad = math.radians(lat1)
lon1_rad = math.radians(lon1)
lat2_rad = math.radians(lat2)
lon2_rad = math.radians(lon2)

dlat = lat2_rad – lat1_rad
dlon = lon2_rad – lon1_rad

a = math.sin(dlat / 2)**2 + math.cos(lat1_rad) * math.cos(lat2_rad) * math.sin(dlon / 2)**2
c = 2 * math.atan2(math.sqrt(a), math.sqrt(1 – a))

distance = R * c
return distance

# Exemple d’utilisation
paris_lat = 48.8566
paris_lon = 2.3522
new_york_lat = 40.7128
new_york_lon = -74.0060

distance = haversine(paris_lat, paris_lon, new_york_lat, new_york_lon)
print(f”La distance entre Paris et New York est : {distance:.2f} km”) # Output: La distance entre Paris et New York est : 5837.24 km

**Améliorations et Précautions :**

* **Altitude :** La formule de Haversine ne prend pas en compte l’altitude. Pour des calculs très précis, notamment pour des vols, il faudrait considérer l’altitude des points.
* **Ellipsoïde terrestre :** La Terre n’est pas une sphère parfaite, mais un ellipsoïde. Pour des distances très longues et une précision maximale, des formules plus complexes, basées sur l’ellipsoïde (par exemple, la formule de Vincenty), sont nécessaires.
* **Unités :** Assurez-vous d’utiliser les bonnes unités (radians pour les angles, kilomètres ou miles pour le rayon de la Terre) pour obtenir des résultats corrects.

5. Outils et ressources pour le calcul de distance

De nombreux outils et ressources sont disponibles en ligne pour faciliter le calcul de distance :

* **Calculatrices en ligne :** De nombreux sites web proposent des calculatrices de distance entre deux points, que ce soit en coordonnées cartésiennes ou géographiques. Recherchez “calculateur de distance” sur votre moteur de recherche préféré.
* **Bibliothèques logicielles :** La plupart des langages de programmation offrent des bibliothèques pour effectuer des calculs de distance. Par exemple, en Python, la bibliothèque `geopy` est très puissante pour les calculs géodésiques.
* **Systèmes d’Information Géographique (SIG) :** Les SIG, comme QGIS ou ArcGIS, permettent de manipuler et d’analyser des données géographiques, y compris le calcul de distances.
* **Google Maps API :** L’API Google Maps offre des fonctionnalités pour calculer des distances routières ou à vol d’oiseau, ainsi que des itinéraires.

**Exemple d’utilisation de la bibliothèque `geopy` en Python :**

python
from geopy.geocoders import Nominatim
from geopy.distance import geodesic

# Initialiser le géolocalisateur
geolocator = Nominatim(user_agent=”distance_calculator”)

# Obtenir les coordonnées de Paris
location_paris = geolocator.geocode(“Paris”)
paris_latitude = location_paris.latitude
paris_longitude = location_paris.longitude

# Obtenir les coordonnées de New York
location_new_york = geolocator.geocode(“New York”)
new_york_latitude = location_new_york.latitude
new_york_longitude = location_new_york.longitude

# Définir les coordonnées des deux points
paris = (paris_latitude, paris_longitude)
new_york = (new_york_latitude, new_york_longitude)

# Calculer la distance en utilisant geodesic
distance = geodesic(paris, new_york).km

print(f”La distance entre Paris et New York est : {distance:.2f} km”) # Output: La distance entre Paris et New York est : 5836.94 km (peut varier légèrement selon la précision de la géolocalisation)

6. Applications pratiques du calcul de distance

Le calcul de distance a de nombreuses applications dans divers domaines :

* **Navigation et cartographie :** Calculer des itinéraires, estimer les temps de trajet, afficher des points d’intérêt à proximité.
* **Logistique et transport :** Optimiser les itinéraires de livraison, gérer les flottes de véhicules.
* **Géolocalisation :** Localiser des utilisateurs ou des objets, afficher des informations contextuelles en fonction de la proximité.
* **Jeux vidéo :** Calculer les distances entre les personnages, gérer les collisions.
* **Robotique :** Planifier les mouvements des robots, éviter les obstacles.
* **Astronomie :** Calculer les distances entre les étoiles et les planètes.
* **Analyse de données :** Regrouper des données similaires en fonction de leur proximité (clustering).

7. Conclusion

Calculer la distance entre deux points est une compétence fondamentale avec de nombreuses applications pratiques. En comprenant les concepts de base, les formules appropriées et en utilisant les outils disponibles, vous pouvez maîtriser cet aspect essentiel des mathématiques, de la géographie et de l’informatique. Que vous ayez besoin de calculer la distance entre deux villes, la longueur d’un segment de droite ou d’implémenter un algorithme de navigation, ce guide vous a fourni les connaissances et les ressources nécessaires pour réussir. N’hésitez pas à expérimenter avec les exemples de code et les outils en ligne pour approfondir votre compréhension et développer vos propres applications.