Calculer une Valeur Attendue : Guide Complet avec Exemples

La valeur attendue, ou espérance mathématique, est un concept fondamental en probabilités et en statistique. Elle représente la moyenne pondérée des résultats possibles d’un événement, chaque résultat étant pondéré par sa probabilité d’occurrence. Comprendre et savoir calculer une valeur attendue est crucial dans de nombreux domaines, allant de la finance et de l’investissement à la prise de décision quotidienne. Cet article vous guidera à travers les étapes nécessaires pour calculer une valeur attendue, en fournissant des exemples concrets et des explications détaillées.

Qu’est-ce que la Valeur Attendue ?

La valeur attendue (E[X] ou EV) est une mesure de la valeur que l’on s’attend à obtenir en moyenne si un événement est répété un grand nombre de fois. Elle ne prédit pas nécessairement le résultat d’une seule occurrence, mais plutôt le résultat moyen à long terme. Pensez-y comme une prédiction du gain ou de la perte moyen si vous répétiez une action (comme parier, investir, etc.) un grand nombre de fois.

Formule de la Valeur Attendue

La formule générale pour calculer la valeur attendue est la suivante :

E[X] = Σ [xᵢ * P(xᵢ)]

Où :

* E[X] est la valeur attendue de la variable aléatoire X.
* Σ représente la somme de tous les résultats possibles.
* xᵢ est chaque résultat possible de la variable aléatoire X.
* P(xᵢ) est la probabilité d’occurrence du résultat xᵢ.

En termes simples, vous multipliez chaque résultat possible par sa probabilité d’occurrence, puis vous additionnez tous ces produits.

Étapes pour Calculer une Valeur Attendue

Voici une procédure étape par étape pour calculer une valeur attendue, illustrée par des exemples :

Étape 1 : Identifier les Résultats Possibles

La première étape consiste à identifier tous les résultats possibles de l’événement que vous analysez. Cela peut être les gains et les pertes possibles d’un investissement, les résultats d’un jeu de hasard, ou les différents scénarios possibles pour un projet.

**Exemple 1 : Lancer de Dé**

Considérons un simple jeu de lancer de dé. Les résultats possibles sont les nombres de 1 à 6. Donc, nos xᵢ sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6.

**Exemple 2 : Investissement Boursier**

Supposons que vous investissez dans une action. Il y a trois scénarios possibles pour l’année prochaine :

* Scénario 1 : L’action augmente de 10 €.
* Scénario 2 : L’action reste stable (0 € de variation).
* Scénario 3 : L’action diminue de 5 €.

Donc, nos xᵢ sont : 10, 0, -5.

Étape 2 : Déterminer les Probabilités de Chaque Résultat

Ensuite, vous devez déterminer la probabilité de chaque résultat possible. La probabilité est une mesure de la chance qu’un événement se produise. Elle est exprimée sous forme de nombre entre 0 et 1, où 0 signifie que l’événement est impossible et 1 signifie que l’événement est certain.

**Exemple 1 : Lancer de Dé (suite)**

Si le dé est équilibré, chaque face a une probabilité égale d’apparaître. Donc, la probabilité de chaque résultat est 1/6.

P(1) = 1/6
P(2) = 1/6
P(3) = 1/6
P(4) = 1/6
P(5) = 1/6
P(6) = 1/6

**Exemple 2 : Investissement Boursier (suite)**

Supposons que vous ayez estimé les probabilités des scénarios suivants, basées sur une analyse de marché :

* Scénario 1 (augmentation de 10 €) : P(10) = 0.4 (40% de probabilité)
* Scénario 2 (stable) : P(0) = 0.3 (30% de probabilité)
* Scénario 3 (diminution de 5 €) : P(-5) = 0.3 (30% de probabilité)

**Important :** Assurez-vous que la somme de toutes les probabilités est égale à 1. Si ce n’est pas le cas, il y a une erreur dans vos calculs ou estimations.

Étape 3 : Multiplier Chaque Résultat par sa Probabilité

Maintenant, multipliez chaque résultat possible (xᵢ) par sa probabilité d’occurrence (P(xᵢ)).

**Exemple 1 : Lancer de Dé (suite)**

* 1 * (1/6) = 1/6
* 2 * (1/6) = 2/6
* 3 * (1/6) = 3/6
* 4 * (1/6) = 4/6
* 5 * (1/6) = 5/6
* 6 * (1/6) = 6/6

**Exemple 2 : Investissement Boursier (suite)**

* 10 * 0.4 = 4
* 0 * 0.3 = 0
* -5 * 0.3 = -1.5

Étape 4 : Additionner les Produits

Enfin, additionnez tous les produits que vous avez calculés à l’étape précédente. Le résultat est la valeur attendue.

**Exemple 1 : Lancer de Dé (suite)**

E[X] = (1/6) + (2/6) + (3/6) + (4/6) + (5/6) + (6/6) = 21/6 = 3.5

La valeur attendue d’un lancer de dé est 3.5. Cela signifie que si vous lanciez le dé un grand nombre de fois, la moyenne de vos résultats se rapprocherait de 3.5.

**Exemple 2 : Investissement Boursier (suite)**

E[X] = 4 + 0 + (-1.5) = 2.5

La valeur attendue de l’investissement boursier est de 2.5 €. Cela signifie que, en moyenne, vous vous attendez à gagner 2.5 € par action si vous répétez cet investissement plusieurs fois, compte tenu de vos estimations de probabilité.

Exemples Avancés et Applications

La valeur attendue peut être appliquée à une variété de situations. Voici quelques exemples plus complexes :

Exemple 3 : Assurance

Une compagnie d’assurance vend une police d’assurance habitation. La probabilité qu’une maison soit complètement détruite par un incendie est de 0.001. Si une maison est détruite, la compagnie d’assurance doit payer 200 000 €. Quel est le montant minimum que la compagnie d’assurance doit facturer pour la police pour s’assurer qu’elle ne perd pas d’argent en moyenne ?

* **Résultats possibles :**
* Destruction de la maison : -200 000 € (la compagnie d’assurance paie)
* Pas de destruction : +Prix de la police (la compagnie d’assurance reçoit)
* **Probabilités :**
* P(Destruction) = 0.001
* P(Pas de destruction) = 1 – 0.001 = 0.999
* **Calcul de la valeur attendue :**
E[X] = (-200 000 * 0.001) + (Prix de la police * 0.999)

Pour que la compagnie d’assurance ne perde pas d’argent en moyenne, la valeur attendue doit être supérieure ou égale à 0. Nous résolvons donc l’équation suivante :

0 = (-200 000 * 0.001) + (Prix de la police * 0.999)

0 = -200 + (Prix de la police * 0.999)

Prix de la police * 0.999 = 200

Prix de la police = 200 / 0.999 ≈ 200.20 €

La compagnie d’assurance doit facturer au moins 200.20 € pour la police.

Exemple 4 : Décisions d’Investissement

Vous avez le choix entre deux investissements :

* **Investissement A :**
* Probabilité de gagner 10 000 € : 0.6
* Probabilité de perdre 5 000 € : 0.4
* **Investissement B :**
* Probabilité de gagner 5 000 € : 0.8
* Probabilité de perdre 2 000 € : 0.2

Quel investissement est le plus avantageux en termes de valeur attendue ?

* **Investissement A :**
E[A] = (10 000 * 0.6) + (-5 000 * 0.4) = 6 000 – 2 000 = 4 000 €
* **Investissement B :**
E[B] = (5 000 * 0.8) + (-2 000 * 0.2) = 4 000 – 400 = 3 600 €

L’investissement A a une valeur attendue plus élevée (4 000 €) que l’investissement B (3 600 €). Sur la base de la valeur attendue, l’investissement A est le plus avantageux.

Conseils et Erreurs à Éviter

* **Précision des Probabilités :** La précision de la valeur attendue dépend fortement de la précision de vos estimations de probabilité. Des estimations incorrectes conduiront à une valeur attendue incorrecte.
* **Tenir Compte de Tous les Résultats Possibles :** Assurez-vous d’identifier tous les résultats possibles, même ceux qui semblent improbables. Omettre des résultats peut fausser le calcul de la valeur attendue.
* **Unités :** Soyez cohérent avec les unités. Si vous utilisez des euros, assurez-vous que tous les gains et les pertes sont exprimés en euros.
* **Ne pas Confondre Valeur Attendue et Certitude :** La valeur attendue est une moyenne à long terme. Elle ne garantit pas le résultat d’une seule occurrence. Ne basez pas toutes vos décisions uniquement sur la valeur attendue, surtout si les conséquences d’un résultat négatif sont graves.
* **Considérer l’Aversion au Risque :** La valeur attendue ne tient pas compte de l’aversion au risque. Certaines personnes peuvent préférer un investissement avec une valeur attendue légèrement inférieure s’il est moins risqué.

Conclusion

Calculer une valeur attendue est un outil puissant pour évaluer les risques et les bénéfices potentiels d’une décision. En identifiant les résultats possibles, en estimant leurs probabilités et en appliquant la formule appropriée, vous pouvez obtenir une estimation de ce à quoi vous pouvez vous attendre en moyenne. Cependant, il est important de se rappeler que la valeur attendue n’est qu’un outil parmi d’autres et qu’elle doit être utilisée en conjonction avec d’autres facteurs, tels que votre tolérance au risque et votre situation personnelle. En comprenant les forces et les limites de la valeur attendue, vous pouvez prendre des décisions plus éclairées et maximiser vos chances de succès.