Comment Déterminer la Réciproque d’une Fonction du Second Degré : Guide Détaillé et Exemples
Les fonctions du second degré, également appelées fonctions quadratiques, jouent un rôle fondamental en mathématiques et dans de nombreuses applications pratiques. Elles se présentent sous la forme générale f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des constantes et a ≠ 0. Comprendre comment déterminer la réciproque d’une telle fonction peut sembler intimidant, mais en suivant les étapes appropriées, cela devient une tâche réalisable et même enrichissante. Cet article vous guidera à travers le processus, en fournissant une explication détaillée et des exemples concrets pour vous aider à maîtriser cette compétence.
Comprendre la Notion de Fonction Réciproque
Avant de plonger dans les détails du calcul, il est essentiel de bien comprendre ce qu’est une fonction réciproque. Pour une fonction f(x), sa réciproque, notée f⁻¹(x), est une fonction qui ‘inverse’ l’action de f. En d’autres termes, si f(a) = b, alors f⁻¹(b) = a. Graphiquement, la courbe de f⁻¹(x) est le reflet de la courbe de f(x) par rapport à la droite y = x.
Il est crucial de noter que toutes les fonctions n’ont pas de réciproque. Pour qu’une fonction ait une réciproque, elle doit être bijective, c’est-à-dire à la fois injective (chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au plus un antécédent) et surjective (chaque élément de l’ensemble d’arrivée a au moins un antécédent). Les fonctions du second degré, dans leur forme générale, ne sont pas bijectives sur l’ensemble des nombres réels, car elles ne sont pas injectives (la parabole admet une valeur y pour plusieurs valeurs x). Cependant, nous pouvons trouver des réciproques en restreignant le domaine de définition de la fonction du second degré. Cette restriction est un élément clé pour réussir à déterminer la réciproque.
Pourquoi les Fonctions du Second Degré Nécessitent une Restriction de Domaine pour Avoir une Réciproque?
La raison principale est la symétrie de la parabole. Une fonction du second degré est représentée par une parabole. Cette parabole possède un axe de symétrie vertical. En conséquence, une même valeur y est atteinte par deux valeurs différentes de x (à moins que l’on soit au sommet de la parabole). Cela viole la condition d’injectivité requise pour qu’une fonction ait une réciproque.
Pour surmonter ce problème, on restreint le domaine de définition de la fonction au côté gauche ou au côté droit de l’axe de symétrie. En choisissant l’un de ces demi-plans, la fonction devient injective et bijective, et donc admet une réciproque. Le sommet de la parabole joue un rôle central dans cette restriction.
Étape 1 : Trouver le Sommet de la Parabole
La première étape consiste à déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentée par la fonction f(x) = ax² + bx + c. Le sommet est le point (h, k), où h est l’abscisse et k est l’ordonnée.
L’abscisse du sommet, h, est donnée par la formule :
h = -b / (2a)
Une fois que vous avez trouvé h, vous pouvez trouver l’ordonnée du sommet, k, en remplaçant h dans l’expression de la fonction f(x) :
k = f(h) = a(h)² + b(h) + c
Ces coordonnées (h, k) sont essentielles pour la suite du processus.
Exemple 1
Considérons la fonction f(x) = x² – 4x + 3.
Ici, a = 1, b = -4 et c = 3.
L’abscisse du sommet est : h = -(-4) / (2 * 1) = 2.
L’ordonnée du sommet est : k = (2)² – 4(2) + 3 = 4 – 8 + 3 = -1.
Donc, le sommet de la parabole est (2, -1).
Étape 2 : Choisir le Domaine Restreint
Comme mentionné précédemment, nous devons restreindre le domaine de la fonction pour garantir son injectivité. L’axe de symétrie de la parabole est une droite verticale passant par le sommet (x = h). Nous avons deux choix possibles :
- Restreindre le domaine à x ≥ h (la partie de la parabole à droite du sommet)
- Restreindre le domaine à x ≤ h (la partie de la parabole à gauche du sommet)
Le choix est arbitraire, mais il est important de le garder à l’esprit lors des étapes suivantes. En général, on choisit souvent x ≥ h pour simplifier les calculs, mais le choix de x ≤ h est tout aussi valable et mènera au même résultat final pour la fonction inverse une fois la variable x remplacée.
Dans l’exemple 1, nous avons h=2. Donc, nous pouvons choisir de restreindre le domaine à x ≥ 2 ou x ≤ 2. Pour cet exemple, choisissons x ≥ 2.
Étape 3 : Écrire l’Équation y = f(x)
La troisième étape consiste à écrire l’équation de la fonction sous la forme y = f(x). Cela nous permettra ensuite d’échanger les rôles de x et y dans l’équation pour trouver la fonction réciproque.
En reprenant notre exemple 1 avec le domaine restreint x ≥ 2, nous avons:
y = x² – 4x + 3
Étape 4 : Inverser les Variables x et y
Maintenant, nous allons intervertir les rôles de x et y. Dans cette nouvelle équation, ‘x’ représente les images de la fonction réciproque (ce qui était les antécédents de la fonction originale), et ‘y’ représente les antécédents de la fonction réciproque (ce qui était les images de la fonction originale).
L’équation devient :
x = y² – 4y + 3
Étape 5 : Résoudre l’Équation pour y
L’étape suivante est de résoudre l’équation x = y² – 4y + 3 pour exprimer y en fonction de x. C’est l’étape la plus délicate, car il faut manipuler l’équation algébriquement pour isoler y. Dans notre cas, nous devons mettre l’équation sous la forme d’un polynôme du second degré en y et ensuite utiliser la formule du discriminant ou la méthode de complétion du carré.
On réécrit l’équation:
y² – 4y + 3 – x = 0
Nous devons maintenant résoudre cette équation du second degré en y. Nous pouvons utiliser la méthode de complétion du carré, ce qui évite la formule du discriminant qui peut être plus fastidieuse.
Pour compléter le carré, on se concentre sur les termes en y: y² – 4y. On prend la moitié du coefficient de y, soit -4/2 = -2, et on élève au carré : (-2)² = 4. On ajoute et soustrait 4 :
y² – 4y + 4 – 4 + 3 – x = 0
(y – 2)² – 1 – x = 0
On isole le carré:
(y – 2)² = x + 1
On prend la racine carrée des deux côtés:
y – 2 = ±√(x + 1)
On isole y:
y = 2 ± √(x + 1)
Maintenant, nous devons choisir entre le signe + et le signe – de la racine carrée. C’est là que la restriction du domaine de la fonction initiale (x ≥ 2) entre en jeu. En effet, nous savons que pour la fonction initiale, y prend toutes les valeurs supérieures ou égales à -1 (l’ordonnée du sommet) pour des x supérieurs ou égaux à 2. Par conséquent, nous devons faire un choix pour que la fonction inverse soit cohérente. Comme nous avons x ≥ 2 dans la fonction initiale, nous devons avoir y ≥ 2 dans la réciproque (en effet l’axe y devient l’axe x et l’axe x devient l’axe y). Or, le sommet est en (2, -1) ce qui signifie que sur le domaine x ≥ 2, y ≥ -1. L’image de la fonction réciproque f⁻¹(x) doit donc prendre des valeurs ≥ 2. Le terme √x+1 est toujours positif, donc le terme ±√(x+1) est positif quand on utilise le +, et négatif quand on utilise le -. Il faut donc choisir le + pour que y ≥ 2 . Donc la forme correcte de y est
y = 2 + √(x + 1)
C’est la fonction réciproque, notée f⁻¹(x).
f⁻¹(x) = 2 + √(x + 1)
Étape 6 : Déterminer le Domaine de la Fonction Réciproque
Le domaine de la fonction réciproque est l’ensemble des valeurs possibles pour x dans l’expression f⁻¹(x) = 2 + √(x + 1). Sous la racine carrée, nous devons avoir x+1 ≥ 0, ce qui signifie x ≥ -1.
Le domaine de la fonction réciproque est donc [-1, +∞[, ce qui correspond bien à l’image de la fonction initiale sur le domaine restreint [2, +∞[.
Récapitulatif des Étapes
- Trouver le sommet (h, k) de la parabole.
- Restreindre le domaine de la fonction initiale à x ≥ h ou x ≤ h.
- Écrire l’équation y = f(x).
- Intervertir x et y pour obtenir x = f(y).
- Résoudre l’équation pour y, ce qui peut nécessiter de compléter le carré ou d’utiliser la formule du discriminant.
- Déterminer le domaine de la fonction réciproque.
Exemples supplémentaires
Exemple 2
Considérons la fonction f(x) = -x² + 6x – 5.
Ici, a = -1, b = 6 et c = -5.
L’abscisse du sommet est h = -6 / (2 * -1) = 3.
L’ordonnée du sommet est k = -(3)² + 6(3) – 5 = -9 + 18 – 5 = 4.
Donc le sommet est (3, 4).
Choisissons de restreindre le domaine à x ≤ 3.
Écrivons l’équation y = -x² + 6x – 5.
Intervertissons x et y : x = -y² + 6y – 5.
Résolvons pour y :
y² – 6y + 5 + x = 0
Complétons le carré :
y² – 6y + 9 – 9 + 5 + x = 0
(y – 3)² – 4 + x = 0
(y – 3)² = 4 – x
y – 3 = ±√(4 – x)
y = 3 ± √(4 – x)
Comme nous avons choisi x ≤ 3, cela signifie que la réciproque doit donner des valeurs y ≤ 3. Comme le terme √(4-x) est positif, il faut donc choisir le signe – dans la solution et nous avons
f⁻¹(x) = 3 – √(4 – x)
Le domaine de la fonction réciproque est 4 – x ≥ 0, soit x ≤ 4, ou ]-∞, 4].
Exemple 3
Considérons la fonction f(x) = 2x² + 8x + 6.
Ici, a = 2, b = 8 et c = 6.
L’abscisse du sommet est h = -8 / (2 * 2) = -2.
L’ordonnée du sommet est k = 2(-2)² + 8(-2) + 6 = 8 – 16 + 6 = -2.
Donc, le sommet est (-2, -2).
Choisissons de restreindre le domaine à x ≥ -2.
L’équation est y = 2x² + 8x + 6.
En intervertissant x et y, on obtient x = 2y² + 8y + 6.
Résolvons pour y :
2y² + 8y + 6 – x = 0
y² + 4y + 3 – x/2 = 0 (on divise par 2).
Complétons le carré :
y² + 4y + 4 – 4 + 3 – x/2 = 0
(y + 2)² – 1 – x/2 = 0
(y + 2)² = 1 + x/2
y + 2 = ±√(1 + x/2)
y = -2 ±√(1 + x/2)
Comme nous avons choisi x ≥ -2, cela signifie que la réciproque doit donner des valeurs y ≥ -2. La racine carrée est un nombre positif, il faut donc choisir le + dans la solution et nous avons
f⁻¹(x) = -2 + √(1 + x/2)
Le domaine de la fonction réciproque est 1 + x/2 ≥ 0, soit x ≥ -2, ou [-2, +∞[.
Conclusion
Déterminer la réciproque d’une fonction du second degré nécessite une approche systématique. En suivant les étapes décrites, vous pouvez réussir à trouver la fonction réciproque, à condition de bien comprendre la nécessité de restreindre le domaine de la fonction originale. Les exemples concrets ont illustré comment appliquer ces étapes. La pratique régulière est essentielle pour renforcer cette compétence. N’hésitez pas à refaire les exemples et à vous entraîner avec de nouvelles fonctions pour maîtriser pleinement cette technique.
En résumé, même si les fonctions du second degré ne sont pas bijectives sur leur ensemble de définition complet, en les restreignant à un domaine spécifique (à gauche ou à droite du sommet de la parabole), elles deviennent bijectives et donc admettent une fonction réciproque. Cette fonction réciproque est généralement une fonction qui implique une racine carrée.