Cómo Calcular la Incertidumbre: Guía Completa con Ejemplos Prácticos
La incertidumbre es un concepto fundamental en ciencia e ingeniería que representa el rango de valores dentro del cual se espera que se encuentre el valor verdadero de una medición. Es crucial comprender y cuantificar la incertidumbre para evaluar la fiabilidad y validez de los resultados experimentales. Ignorar o minimizar la incertidumbre puede llevar a conclusiones erróneas y decisiones basadas en datos inexactos. Esta guía completa te guiará paso a paso a través del proceso de cálculo de la incertidumbre, tanto para mediciones directas como indirectas, con ejemplos prácticos para facilitar su comprensión.
¿Qué es la Incertidumbre?
En términos sencillos, la incertidumbre es una estimación de la duda asociada a una medición. No es un error (aunque el error puede contribuir a la incertidumbre). El error es la diferencia entre el valor medido y el valor verdadero (desconocido), mientras que la incertidumbre es una estimación del rango de valores plausibles alrededor de la medición.
La incertidumbre puede surgir de diversas fuentes, incluyendo:
* **Limitaciones del instrumento de medición:** La precisión limitada de los instrumentos (como reglas, balanzas, voltímetros) introduce incertidumbre.
* **Variaciones en la medición:** Repetir una medición varias veces rara vez produce exactamente el mismo resultado. Estas variaciones estadísticas contribuyen a la incertidumbre.
* **Factores ambientales:** La temperatura, la humedad, las vibraciones y otros factores ambientales pueden afectar la medición.
* **Apreciación personal:** La habilidad y juicio del experimentador al realizar la medición (por ejemplo, al leer una escala analógica) también introducen incertidumbre.
* **Incertidumbre en las constantes físicas:** Las constantes físicas utilizadas en cálculos (como la gravedad o la constante de Planck) tienen asociadas sus propias incertidumbres, que se propagan a través de los cálculos.
Tipos de Incertidumbre
Existen dos categorías principales de incertidumbre:
* **Incertidumbre Tipo A:** Se evalúa mediante métodos estadísticos, analizando una serie de mediciones repetidas. Ejemplos típicos son la desviación estándar de una muestra de mediciones.
* **Incertidumbre Tipo B:** Se evalúa mediante cualquier otro medio que no sea el análisis estadístico de mediciones repetidas. Esto puede incluir la información proporcionada por el fabricante del instrumento, el conocimiento de la deriva del instrumento, la experiencia previa, etc.
Calculando la Incertidumbre Tipo A
El proceso para calcular la incertidumbre tipo A involucra los siguientes pasos:
1. **Realizar múltiples mediciones:** Repetir la medición del mismo objeto o fenómeno varias veces (generalmente, al menos 5-10 veces es recomendable, aunque un número mayor mejora la precisión).
2. **Calcular el valor promedio (media):** Sumar todas las mediciones y dividir por el número de mediciones realizadas.
`Valor Promedio (x̄) = (x₁ + x₂ + … + xₙ) / n`
Donde:
* x̄ es el valor promedio.
* x₁, x₂, …, xₙ son las mediciones individuales.
* n es el número de mediciones.
3. **Calcular la desviación estándar (σ):** La desviación estándar mide la dispersión de los datos alrededor del valor promedio. Se calcula como la raíz cuadrada de la varianza.
`Varianza (σ²) = Σ (xᵢ – x̄)² / (n – 1)`
`Desviación Estándar (σ) = √Varianza`
Donde:
* Σ denota la suma de todos los términos.
* xᵢ es cada medición individual.
* x̄ es el valor promedio.
* n es el número de mediciones.
El denominador `(n-1)` se utiliza en lugar de `n` para obtener una estimación insesgada de la desviación estándar de la población cuando se trabaja con una muestra.
4. **Calcular la desviación estándar de la media (σₓ̄):** Esta es una medida de la incertidumbre en el valor promedio. Se calcula dividiendo la desviación estándar por la raíz cuadrada del número de mediciones.
`Desviación Estándar de la Media (σₓ̄) = σ / √n`
Donde:
* σ es la desviación estándar.
* n es el número de mediciones.
5. **La incertidumbre tipo A es la desviación estándar de la media (σₓ̄).** Se reporta como `x̄ ± σₓ̄`.
**Ejemplo:**
Supongamos que medimos la longitud de un objeto 5 veces y obtenemos los siguientes resultados (en cm):
12. 1 cm
13. 3 cm
14. 9 cm
15. 2 cm
16. 5 cm
17. **Valor Promedio:** (12.1 + 12.3 + 11.9 + 12.2 + 12.5) / 5 = 12.2 cm
18. **Varianza:** [(12.1-12.2)² + (12.3-12.2)² + (11.9-12.2)² + (12.2-12.2)² + (12.5-12.2)²] / (5-1) = 0.055 cm²
19. **Desviación Estándar:** √0.055 = 0.23 cm
20. **Desviación Estándar de la Media:** 0.23 / √5 = 0.10 cm
Por lo tanto, la longitud del objeto se reporta como `12.2 ± 0.1 cm`.
Calculando la Incertidumbre Tipo B
La incertidumbre tipo B se estima basándose en información disponible que no proviene de un análisis estadístico directo de mediciones repetidas. Las fuentes comunes de información incluyen:
* **Especificaciones del fabricante:** Los fabricantes de instrumentos de medición suelen proporcionar información sobre la precisión de sus dispositivos. Por ejemplo, un voltímetro podría tener una precisión de ± 0.5% de la lectura + 1 dígito.
* **Certificados de calibración:** Los certificados de calibración proporcionan información detallada sobre el error del instrumento y su incertidumbre asociada.
* **Experiencia previa:** La experiencia con el instrumento y el proceso de medición puede proporcionar una estimación razonable de la incertidumbre.
* **Resolución del instrumento:** La resolución del instrumento (el cambio más pequeño que puede detectar) puede ser una fuente de incertidumbre. Por ejemplo, si una regla tiene una resolución de 1 mm, la incertidumbre debido a la resolución podría estimarse como ± 0.5 mm.
El proceso para estimar la incertidumbre tipo B depende de la fuente de información. Aquí hay algunos ejemplos:
* **Especificaciones del fabricante:** Interpretar las especificaciones del fabricante cuidadosamente. Si la especificación es ± 0.5% de la lectura, calcular el 0.5% del valor medido. Si hay un término adicional (por ejemplo, + 1 dígito), agregar este valor a la incertidumbre.
* **Resolución del instrumento:** Una regla de oro común es asumir que la incertidumbre debido a la resolución es la mitad de la resolución. Por ejemplo, si una regla tiene una resolución de 1 mm, la incertidumbre se estima como ± 0.5 mm. Sin embargo, esto puede ser una subestimación si la lectura requiere interpolación entre marcas.
* **Certificados de Calibración:** Utilizar la información proporcionada en el certificado de calibración directamente. El certificado indicará la incertidumbre asociada a la medición realizada durante la calibración.
Es importante justificar la estimación de la incertidumbre tipo B y documentar la fuente de información utilizada.
**Ejemplo:**
Medimos el voltaje de una batería con un voltímetro que tiene una precisión de ± 0.2% de la lectura + 0.1 V. La lectura del voltímetro es 12.5 V.
* **Incertidumbre debido a la precisión:** 0.2% de 12.5 V = 0.025 V
* **Incertidumbre adicional:** 0.1 V
* **Incertidumbre Tipo B:** 0.025 V + 0.1 V = 0.125 V
Por lo tanto, el voltaje de la batería se reporta como `12.5 ± 0.125 V`.
Incertidumbre Estándar Combinada
Cuando una medición se ve afectada por múltiples fuentes de incertidumbre (tanto tipo A como tipo B), es necesario combinar estas incertidumbres para obtener una incertidumbre estándar combinada (u_c).
La forma más común de combinar las incertidumbres es utilizando la **raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (RSS)**:
`u_c = √(u₁² + u₂² + … + uₙ²)`
Donde:
* u_c es la incertidumbre estándar combinada.
* u₁, u₂, …, uₙ son las incertidumbres individuales (tanto tipo A como tipo B).
Es importante que todas las incertidumbres individuales estén expresadas en la misma unidad antes de combinarlas.
**Ejemplo:**
Medimos la longitud de una mesa con una regla. La longitud medida es 1.50 m. Tenemos las siguientes fuentes de incertidumbre:
* **Incertidumbre Tipo A (debido a la repetibilidad):** ± 0.005 m (calculada a partir de mediciones repetidas).
* **Incertidumbre Tipo B (debido a la resolución de la regla):** ± 0.001 m (la regla tiene una resolución de 1 mm).
La incertidumbre estándar combinada se calcula como:
`u_c = √(0.005² + 0.001²) = √(0.000025 + 0.000001) = √0.000026 ≈ 0.0051 m`
Por lo tanto, la longitud de la mesa se reporta como `1.500 ± 0.005 m`.
Incertidumbre Expandida
La incertidumbre estándar combinada (u_c) proporciona una estimación de la incertidumbre con un nivel de confianza de aproximadamente el 68%. Para aumentar el nivel de confianza, se utiliza la incertidumbre expandida (U).
La incertidumbre expandida se calcula multiplicando la incertidumbre estándar combinada por un **factor de cobertura (k)**:
`U = k * u_c`
El valor del factor de cobertura depende del nivel de confianza deseado. Los valores comunes de k son:
* **k = 2:** Corresponde a un nivel de confianza de aproximadamente el 95% (asumiendo una distribución normal).
* **k = 3:** Corresponde a un nivel de confianza de aproximadamente el 99.7% (asumiendo una distribución normal).
La elección del factor de cobertura depende de la aplicación y del nivel de confianza requerido. En muchos casos, k = 2 es suficiente.
**Ejemplo:**
Continuando con el ejemplo anterior de la longitud de la mesa, la incertidumbre estándar combinada fue calculada como 0.0051 m. Si queremos un nivel de confianza del 95% (k = 2), la incertidumbre expandida es:
`U = 2 * 0.0051 m = 0.0102 m`
Por lo tanto, la longitud de la mesa se reporta como `1.500 ± 0.010 m` con un nivel de confianza del 95%.
Propagación de la Incertidumbre
En muchos casos, la cantidad que queremos determinar no se mide directamente, sino que se calcula a partir de otras cantidades medidas. En estos casos, es necesario propagar la incertidumbre de las cantidades medidas a la cantidad calculada.
La propagación de la incertidumbre depende de la función que relaciona la cantidad calculada con las cantidades medidas. Aquí hay algunas reglas generales:
* **Suma o Resta:** Si la cantidad calculada es la suma o resta de varias cantidades medidas (z = x + y o z = x – y), la incertidumbre de la cantidad calculada se calcula como:
`u_z = √(u_x² + u_y²)`
* **Multiplicación o División:** Si la cantidad calculada es el producto o cociente de varias cantidades medidas (z = x * y o z = x / y), la incertidumbre relativa de la cantidad calculada se calcula como:
`u_r,z = √(u_r,x² + u_r,y²)`
Donde u_r,x y u_r,y son las incertidumbres relativas de x e y, respectivamente (u_r,x = u_x / x y u_r,y = u_y / y). La incertidumbre absoluta de z se calcula entonces como:
`u_z = z * u_r,z`
* **Función General:** Para una función general z = f(x, y, …), la incertidumbre se calcula utilizando la siguiente fórmula:
`u_z = √[(∂f/∂x)² * u_x² + (∂f/∂y)² * u_y² + …]`
Donde ∂f/∂x y ∂f/∂y son las derivadas parciales de la función f con respecto a x e y, respectivamente.
**Ejemplo:**
Calculamos la densidad de un objeto a partir de su masa (m) y volumen (V): ρ = m / V
Supongamos que medimos la masa como `100 ± 1 g` y el volumen como `50 ± 2 cm³`.
* **Incertidumbre relativa de la masa:** u_r,m = 1 g / 100 g = 0.01
* **Incertidumbre relativa del volumen:** u_r,V = 2 cm³ / 50 cm³ = 0.04
* **Incertidumbre relativa de la densidad:** u_r,ρ = √(0.01² + 0.04²) = √0.0017 ≈ 0.041
* **Densidad:** ρ = 100 g / 50 cm³ = 2 g/cm³
* **Incertidumbre de la densidad:** u_ρ = 2 g/cm³ * 0.041 ≈ 0.082 g/cm³
Por lo tanto, la densidad del objeto se reporta como `2.00 ± 0.08 g/cm³`.
Software para el Cálculo de la Incertidumbre
Si bien los cálculos manuales son esenciales para comprender los principios subyacentes, existen herramientas de software que pueden simplificar el proceso de cálculo de la incertidumbre, especialmente para problemas complejos. Algunos programas populares incluyen:
* **GUM Workbench:** Un software comercial diseñado específicamente para el cálculo de la incertidumbre según la Guía para la Expresión de la Incertidumbre en la Medición (GUM).
* **Uncertainty Toolbox (MATLAB):** Una herramienta para MATLAB que permite realizar cálculos de incertidumbre de forma eficiente.
* **Hojas de cálculo (Excel, Google Sheets):** Las hojas de cálculo se pueden utilizar para realizar cálculos básicos de incertidumbre, aunque requieren una configuración manual de las fórmulas.
* **Python con librerías como NumPy y SciPy:** Python ofrece flexibilidad para crear scripts personalizados para el cálculo de la incertidumbre.
Consejos para Reportar la Incertidumbre
* **Indicar siempre las unidades:** La incertidumbre debe tener las mismas unidades que la medición.
* **Usar un número apropiado de cifras significativas:** Generalmente, la incertidumbre se reporta con una o dos cifras significativas. El valor medido debe redondearse a la misma cantidad de decimales que la incertidumbre.
* **Indicar el factor de cobertura:** Si se utiliza la incertidumbre expandida, indicar el factor de cobertura (k) utilizado.
* **Documentar las fuentes de incertidumbre:** Describir las fuentes de incertidumbre y cómo se estimaron.
* **Ser consistente:** Utilizar las mismas convenciones para reportar la incertidumbre en todo el informe o publicación.
**Ejemplo de reporte correcto:**
“La longitud de la mesa es 1.500 ± 0.010 m (k = 2, nivel de confianza del 95%). La incertidumbre incluye contribuciones de la repetibilidad de la medición y la resolución de la regla.”
Conclusión
El cálculo de la incertidumbre es un aspecto crucial de cualquier experimento científico o proceso de medición. Comprender y cuantificar la incertidumbre permite evaluar la calidad y fiabilidad de los resultados y tomar decisiones informadas basadas en datos precisos. Esta guía ha proporcionado una introducción completa a los principios y métodos para el cálculo de la incertidumbre, desde las mediciones directas hasta la propagación de la incertidumbre en cálculos complejos. Recuerda que la práctica y la atención al detalle son clave para obtener estimaciones precisas de la incertidumbre.