Résoudre les Relations de Récurrence : Guide Ultime avec Exemples Détaillés

Les relations de récurrence sont omniprésentes en mathématiques discrètes et en informatique. Elles permettent de définir une séquence en termes de ses éléments précédents. Maîtriser leur résolution est essentiel pour analyser la complexité des algorithmes, comprendre le comportement des systèmes dynamiques et bien plus encore. Cet article vous guidera à travers différentes méthodes pour résoudre les relations de récurrence, avec des exemples détaillés et des explications claires.

Qu’est-ce qu’une Relation de Récurrence?

Une relation de récurrence est une équation qui exprime le n-ième terme d’une suite en fonction d’un ou plusieurs termes précédents. Elle est toujours accompagnée de conditions initiales, qui définissent les premiers termes de la suite pour amorcer la récurrence.

Par exemple, la suite de Fibonacci est définie par la relation de récurrence :

* `F(n) = F(n-1) + F(n-2)`

Avec les conditions initiales :

* `F(0) = 0`
* `F(1) = 1`

Cette relation indique que chaque terme de la suite (à partir du troisième) est la somme des deux termes précédents.

Méthodes de Résolution des Relations de Récurrence

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre les relations de récurrence. Nous allons explorer les plus courantes :

1. **Itération (Développement)**
2. **Substitution**
3. **Arbres de Récurrence**
4. **Équation Caractéristique (pour les relations linéaires homogènes à coefficients constants)**
5. **Fonctions Génératrices**

1. Itération (Développement)

La méthode d’itération consiste à développer la relation de récurrence plusieurs fois pour identifier un motif et exprimer le n-ième terme directement en fonction de n et des conditions initiales.

**Exemple :**

Considérons la relation de récurrence : `a(n) = a(n-1) + 2`, avec la condition initiale `a(0) = 1`.

Développons quelques termes :

* `a(1) = a(0) + 2 = 1 + 2`
* `a(2) = a(1) + 2 = (1 + 2) + 2 = 1 + 2*2`
* `a(3) = a(2) + 2 = (1 + 2*2) + 2 = 1 + 3*2`
* `a(4) = a(3) + 2 = (1 + 3*2) + 2 = 1 + 4*2`

On observe un motif clair : `a(n) = 1 + n*2`.

Nous pouvons prouver cette formule par induction :

* **Base :** Pour n = 0, `a(0) = 1 + 0*2 = 1`, ce qui correspond à la condition initiale.
* **Hypothèse inductive :** Supposons que `a(k) = 1 + k*2` pour un certain entier k >= 0.
* **Étape inductive :** Montrons que `a(k+1) = 1 + (k+1)*2`.

`a(k+1) = a(k) + 2` (par la relation de récurrence)
`a(k+1) = (1 + k*2) + 2` (par l’hypothèse inductive)
`a(k+1) = 1 + (k+1)*2`

La formule est donc prouvée par induction.

**Avantages de l’itération :**

* Simple à comprendre et à appliquer pour les relations simples.

**Inconvénients de l’itération :**

* Peut devenir fastidieuse et difficile à généraliser pour les relations complexes.
* Nécessite de reconnaître un motif, ce qui n’est pas toujours évident.

2. Substitution

La méthode de substitution consiste à deviner une forme générale pour la solution, puis à remplacer cette forme dans la relation de récurrence pour déterminer les paramètres de la solution. C’est une méthode utile lorsqu’on a une intuition sur la forme de la solution (par exemple, exponentielle ou polynomiale).

**Exemple :**

Considérons la relation de récurrence : `T(n) = 2T(n/2) + n`, avec `T(1) = 1` (pour simplifier, supposons que n est une puissance de 2).

Supposons que la solution est de la forme `T(n) = O(n log n)`. Essayons une solution de la forme `T(n) = an log₂n + bn` pour des constantes a et b.

Remplaçons dans la relation de récurrence:

`an log₂n + bn = 2(a(n/2) log₂(n/2) + b(n/2)) + n`
`an log₂n + bn = an (log₂n – 1) + bn + n`
`an log₂n + bn = an log₂n – an + bn + n`

Simplifions :

`0 = -an + n`
`an = n`
`a = 1`

Maintenant, déterminons `b` en utilisant la condition initiale `T(1) = 1`.

`T(1) = a * 1 * log₂(1) + b * 1 = 1`
`0 + b = 1`
`b = 1`

Donc, la solution est `T(n) = n log₂n + n`.

**Avantages de la substitution :**

* Peut être efficace si on a une bonne intuition de la forme de la solution.

**Inconvénients de la substitution :**

* Nécessite de deviner la forme de la solution, ce qui peut être difficile.
* La validation de la solution peut être complexe.

3. Arbres de Récurrence

La méthode des arbres de récurrence est une représentation graphique de la relation de récurrence sous forme d’arbre. Chaque nœud de l’arbre représente le coût d’un appel récursif. La somme des coûts de tous les nœuds donne une estimation du coût total de l’algorithme récursif.

**Exemple :**

Considérons la relation de récurrence : `T(n) = 2T(n/2) + n`.

L’arbre de récurrence aura la forme suivante :

n (niveau 0)
/ \
n/2 n/2 (niveau 1)
/ \ / \
n/4 n/4 n/4 n/4 (niveau 2)
/../../../../../..

* Au niveau 0, le coût est `n`.
* Au niveau 1, le coût est `2 * (n/2) = n`.
* Au niveau 2, le coût est `4 * (n/4) = n`.

On observe que le coût à chaque niveau est `n`. La hauteur de l’arbre est `log₂n` (car on divise `n` par 2 à chaque niveau).

Donc, le coût total est approximativement `n * log₂n`. On peut aussi ajouter le coût des feuilles, qui sont `T(1) = 1`. Il y a `n` feuilles, donc leur coût total est `n`. Donc `T(n)` serait de l’ordre de `n log n + n`, donc `O(n log n)`. Bien sûr, c’est une approximation qu’il faudra démontrer formellement par substitution ou induction.

**Avantages des arbres de récurrence :**

* Fournit une visualisation intuitive du coût de la récurrence.
* Permet d’estimer l’ordre de grandeur de la solution.

**Inconvénients des arbres de récurrence :**

* Donne une estimation, pas une solution exacte.
* Peut être difficile à utiliser pour les relations complexes.

4. Équation Caractéristique (pour les relations linéaires homogènes à coefficients constants)

Cette méthode est applicable aux relations de récurrence linéaires homogènes à coefficients constants. Une relation de récurrence est dite linéaire si elle est de la forme :

`a(n) = c₁a(n-1) + c₂a(n-2) + … + cₖa(n-k)`

Où `c₁, c₂, …, cₖ` sont des constantes. Elle est dite homogène si elle n’a pas de terme constant ajouté.

**Étapes de la résolution :**

1. **Former l’équation caractéristique :** Remplacez `a(n)` par `rⁿ`, `a(n-1)` par `rⁿ⁻¹`, etc. et simplifiez. Divisez ensuite toute l’équation par la plus petite puissance de `r`. Par exemple, pour la relation `a(n) = 5a(n-1) – 6a(n-2)`, l’équation caractéristique est `r² – 5r + 6 = 0`.
2. **Résoudre l’équation caractéristique :** Trouvez les racines de l’équation. Il existe deux cas principaux :
* **Racines distinctes :** Si l’équation a `k` racines distinctes `r₁, r₂, …, rₖ`, la solution générale est de la forme `a(n) = A₁r₁ⁿ + A₂r₂ⁿ + … + Aₖrₖⁿ`, où `A₁, A₂, …, Aₖ` sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales.
* **Racines multiples :** Si l’équation a une racine `r` de multiplicité `m`, les termes correspondants dans la solution générale sont de la forme `(A₁ + A₂n + … + Aₘnᵐ⁻¹)rⁿ`.
3. **Déterminer les constantes :** Utilisez les conditions initiales pour former un système d’équations et résoudre-le pour trouver les valeurs des constantes `A₁, A₂, …, Aₖ`.

**Exemple 1 : Suite de Fibonacci**

`F(n) = F(n-1) + F(n-2)`, avec `F(0) = 0` et `F(1) = 1`.

1. **Équation caractéristique :** `r² – r – 1 = 0`
2. **Racines :** `r₁ = (1 + √5) / 2` et `r₂ = (1 – √5) / 2`
3. **Solution générale :** `F(n) = A₁((1 + √5) / 2)ⁿ + A₂((1 – √5) / 2)ⁿ`
4. **Déterminer les constantes :**

* `F(0) = 0 = A₁ + A₂` => `A₂ = -A₁`
* `F(1) = 1 = A₁((1 + √5) / 2) + A₂((1 – √5) / 2)`
* `1 = A₁((1 + √5) / 2) – A₁((1 – √5) / 2)`
* `1 = A₁√5` => `A₁ = 1 / √5`
* `A₂ = -1 / √5`

La solution est donc :

`F(n) = (1 / √5)(((1 + √5) / 2)ⁿ – ((1 – √5) / 2)ⁿ)`

**Exemple 2 : Relation avec racine multiple**

`a(n) = 4a(n-1) – 4a(n-2)`, avec `a(0) = 1` et `a(1) = 2`.

1. **Équation caractéristique :** `r² – 4r + 4 = 0`
2. **Racine :** `r = 2` (racine double)
3. **Solution générale :** `a(n) = (A₁ + A₂n)2ⁿ`
4. **Déterminer les constantes :**

* `a(0) = 1 = A₁`
* `a(1) = 2 = (A₁ + A₂)2`
* `2 = (1 + A₂)2`
* `1 = 1 + A₂` => `A₂ = 0`

La solution est donc :

`a(n) = 2ⁿ`

**Avantages de l’équation caractéristique :**

* Méthode systématique pour résoudre les relations linéaires homogènes à coefficients constants.
* Permet d’obtenir une solution exacte.

**Inconvénients de l’équation caractéristique :**

* Applicable uniquement aux relations linéaires homogènes à coefficients constants.
* La résolution de l’équation caractéristique peut être difficile si elle est de degré élevé.

5. Fonctions Génératrices

Les fonctions génératrices sont des séries formelles utilisées pour représenter des suites. Elles permettent de transformer un problème de récurrence en un problème algébrique, souvent plus facile à résoudre.

**Définition :** La fonction génératrice d’une suite `a₀, a₁, a₂, …` est la série formelle :

`G(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + … = ∑(n=0 à ∞) aₙxⁿ`

**Étapes de la résolution :**

1. **Former la fonction génératrice :** Multipliez chaque terme de la relation de récurrence par `xⁿ` et somme sur toutes les valeurs possibles de `n`. Utilisez les conditions initiales pour simplifier l’expression.
2. **Résoudre pour G(x) :** Manipulez l’équation pour exprimer `G(x)` en fonction de `x` uniquement.
3. **Développer G(x) en série :** Développez `G(x)` en une série de Taylor ou utilisez des décompositions en éléments simples pour exprimer `G(x)` sous une forme qui permet d’identifier les coefficients `aₙ`.

**Exemple : Relation a(n) = 3a(n-1) pour n >= 1 et a(0) = 2**

1. **Former la fonction génératrice :**

On a `a(n) = 3a(n-1)` pour n >= 1 et a(0) = 2. Multiplions chaque terme par xⁿ et sommons de n=1 à l’infini :

∑(n=1 à ∞) a(n)xⁿ = 3 ∑(n=1 à ∞) a(n-1)xⁿ

Le membre de gauche est G(x) – a(0) = G(x) – 2.
Le membre de droite est 3x ∑(n=1 à ∞) a(n-1)xⁿ⁻¹ = 3x ∑(n=0 à ∞) a(n)xⁿ = 3xG(x).

Donc, G(x) – 2 = 3xG(x).

2. **Résoudre pour G(x) :**

G(x) – 3xG(x) = 2
G(x)(1 – 3x) = 2
G(x) = 2 / (1 – 3x)

3. **Développer G(x) en série :**

On sait que 1 / (1 – u) = ∑(n=0 à ∞) uⁿ pour |u| < 1. Donc, G(x) = 2 ∑(n=0 à ∞) (3x)ⁿ = 2 ∑(n=0 à ∞) 3ⁿxⁿ = ∑(n=0 à ∞) (2 * 3ⁿ)xⁿ. Par conséquent, a(n) = 2 * 3ⁿ. **Avantages des fonctions génératrices :** * Méthode puissante pour résoudre une grande variété de relations de récurrence. * Permet de manipuler des suites de manière algébrique. **Inconvénients des fonctions génératrices :** * Nécessite une bonne maîtrise des séries formelles et des techniques de développement en série. * Peut être complexe à appliquer pour les relations très compliquées.

Conclusion

La résolution des relations de récurrence est une compétence fondamentale en mathématiques discrètes et en informatique. Chaque méthode a ses avantages et ses inconvénients, et le choix de la méthode dépend de la nature de la relation et de votre familiarité avec les différentes techniques. En pratiquant avec différents exemples, vous développerez l’intuition nécessaire pour choisir la méthode la plus appropriée et résoudre efficacement les relations de récurrence que vous rencontrerez.

N’hésitez pas à expérimenter avec les exemples présentés dans cet article et à explorer d’autres ressources pour approfondir votre compréhension de ce sujet fascinant. Bonne résolution !