حساب مجموع متتالية حسابية: دليل شامل مع أمثلة وخطوات تفصيلية

المتتالية الحسابية هي سلسلة من الأرقام يختلف فيها كل رقم عن سابقه بمقدار ثابت، يُعرف بالفرق المشترك. فهم المتتاليات الحسابية وكيفية حساب مجموعها هو مهارة أساسية في الرياضيات، ولها تطبيقات واسعة في مجالات مختلفة مثل الفيزياء والهندسة والاقتصاد. في هذا المقال، سنستعرض بالتفصيل كيفية حساب مجموع متتالية حسابية، مع تقديم أمثلة عملية وخطوات واضحة.

ما هي المتتالية الحسابية؟

المتتالية الحسابية (Arithmetic Sequence) هي سلسلة من الأرقام حيث يكون الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتًا. يُعرف هذا الفرق الثابت بالفرق المشترك (Common Difference)، ويرمز له عادة بالحرف ‘d’.

مثال:

المتتالية 2, 5, 8, 11, 14 هي متتالية حسابية، لأن الفرق بين كل حدين متتاليين هو 3 (5-2=3، 8-5=3، وهكذا). إذن، الفرق المشترك d = 3.

الحد العام للمتتالية الحسابية

يمكن التعبير عن الحد العام للمتتالية الحسابية بالصيغة التالية:

a_n = a₁ + (n – 1)d

حيث:

• a_n هو الحد النوني (الحد المطلوب إيجاده).
• a₁ هو الحد الأول في المتتالية.
• n هو رقم الحد (ترتيبه في المتتالية).
• d هو الفرق المشترك.

مثال:

في المتتالية 2, 5, 8, 11, 14، إذا أردنا إيجاد الحد العاشر (a₁₀)، فإن:

• a₁ = 2 (الحد الأول)
• d = 3 (الفرق المشترك)
• n = 10 (رقم الحد)

بالتعويض في الصيغة:

a₁₀ = 2 + (10 – 1) * 3 = 2 + 9 * 3 = 2 + 27 = 29

إذن، الحد العاشر في المتتالية هو 29.

حساب مجموع المتتالية الحسابية

لحساب مجموع متتالية حسابية، نستخدم إحدى الصيغتين التاليتين:

الصيغة الأولى:

S_n = (n/2) * (a₁ + a_n)

حيث:

• S_n هو مجموع أول n حد من المتتالية.
• n هو عدد الحدود المراد جمعها.
• a₁ هو الحد الأول.
• a_n هو الحد الأخير (الحد النوني).

الصيغة الثانية:

S_n = (n/2) * [2a₁ + (n – 1)d]

حيث:

• S_n هو مجموع أول n حد من المتتالية.
• n هو عدد الحدود المراد جمعها.
• a₁ هو الحد الأول.
• d هو الفرق المشترك.

متى نستخدم كل صيغة؟

• نستخدم الصيغة الأولى إذا كنا نعرف الحد الأول والحد الأخير وعدد الحدود.
• نستخدم الصيغة الثانية إذا كنا نعرف الحد الأول والفرق المشترك وعدد الحدود، ولكن لا نعرف الحد الأخير.

أمثلة عملية لحساب مجموع المتتالية الحسابية

مثال 1: استخدام الصيغة الأولى

أوجد مجموع أول 20 حدًا من المتتالية الحسابية التي حدها الأول 3 وحدها الأخير 60.

الحل:

• n = 20 (عدد الحدود)
• a₁ = 3 (الحد الأول)
• a_n = 60 (الحد الأخير)

باستخدام الصيغة الأولى:

S_n = (n/2) * (a₁ + a_n)

S₂₀ = (20/2) * (3 + 60)

S₂₀ = 10 * 63

S₂₀ = 630

إذن، مجموع أول 20 حدًا من المتتالية هو 630.

مثال 2: استخدام الصيغة الثانية

أوجد مجموع أول 15 حدًا من المتتالية الحسابية التي حدها الأول 1 وفرقها المشترك 4.

الحل:

• n = 15 (عدد الحدود)
• a₁ = 1 (الحد الأول)
• d = 4 (الفرق المشترك)

باستخدام الصيغة الثانية:

S_n = (n/2) * [2a₁ + (n – 1)d]

S₁₅ = (15/2) * [2 * 1 + (15 – 1) * 4]

S₁₅ = (15/2) * [2 + 14 * 4]

S₁₅ = (15/2) * [2 + 56]

S₁₅ = (15/2) * 58

S₁₅ = 7.5 * 58

S₁₅ = 435

إذن، مجموع أول 15 حدًا من المتتالية هو 435.

مثال 3: إيجاد الحد الأخير أولاً

أوجد مجموع المتتالية الحسابية: 4, 7, 10, …, 31.

الحل:

1. إيجاد الفرق المشترك (d): d = 7 – 4 = 3
2. إيجاد عدد الحدود (n): نحن نعرف الحد الأول (a₁ = 4) والحد الأخير (a_n = 31). نستخدم صيغة الحد العام لإيجاد n:

   a_n = a₁ + (n – 1)d

   31 = 4 + (n – 1) * 3

   31 – 4 = (n – 1) * 3

   27 = (n – 1) * 3

   9 = n – 1

   n = 10

3. حساب المجموع باستخدام الصيغة الأولى:

   S_n = (n/2) * (a₁ + a_n)

   S₁₀ = (10/2) * (4 + 31)

   S₁₀ = 5 * 35

   S₁₀ = 175

إذن، مجموع المتتالية هو 175.

خطوات تفصيلية لحساب مجموع المتتالية الحسابية

1. حدد ما إذا كانت المتتالية حسابية: تأكد من أن الفرق بين كل حدين متتاليين ثابت.
2. حدد الحد الأول (a₁) والفرق المشترك (d).
3. حدد عدد الحدود (n) التي تريد جمعها. إذا لم يكن عدد الحدود معطى، فقد تحتاج إلى حسابه باستخدام صيغة الحد العام إذا كنت تعرف الحد الأخير.
4. إذا كنت تعرف الحد الأخير (a_n)، استخدم الصيغة الأولى لحساب المجموع: S_n = (n/2) * (a₁ + a_n)
5. إذا كنت لا تعرف الحد الأخير، استخدم الصيغة الثانية لحساب المجموع: S_n = (n/2) * [2a₁ + (n – 1)d]
6. تأكد من أنك أدخلت القيم الصحيحة في الصيغة وقم بإجراء العمليات الحسابية بدقة.
7. تحقق من إجابتك. يمكنك التحقق من إجابتك عن طريق جمع بعض الحدود الأولى يدويًا ومقارنتها بالنتيجة التي حصلت عليها باستخدام الصيغة.

تطبيقات المتتاليات الحسابية

تستخدم المتتاليات الحسابية في العديد من المجالات، بما في ذلك:

• الرياضيات: تستخدم في حساب التفاضل والتكامل، والإحصاء، والجبر.
• الفيزياء: تستخدم في وصف الحركة المنتظمة المتسارعة.
• الهندسة: تستخدم في تصميم المباني والجسور.
• الاقتصاد: تستخدم في حساب الفائدة المركبة.
• علوم الحاسوب: تستخدم في خوارزميات البحث والترتيب.
• الحياة اليومية: تستخدم في حساب الأقساط الشهرية للقروض، والتوفير المنتظم.

تمارين وتطبيقات إضافية

التمرين الأول:

أوجد مجموع أول 50 عددًا طبيعيًا.

التمرين الثاني:

أوجد مجموع المتتالية الحسابية: 1, 3, 5, …, 99.

التمرين الثالث:

شخص يودع في حسابه مبلغ 100 دولار شهريًا، ويزيد المبلغ بمقدار 5 دولارات كل شهر. ما هو المبلغ الذي سيدخره بعد سنتين (24 شهرًا)؟

الحلول:

التمرين الأول:

n = 50, a₁ = 1, a_n = 50

S₅₀ = (50/2) * (1 + 50) = 25 * 51 = 1275

التمرين الثاني:

d = 2, a₁ = 1, a_n = 99

99 = 1 + (n – 1) * 2

98 = (n – 1) * 2

49 = n – 1

n = 50

S₅₀ = (50/2) * (1 + 99) = 25 * 100 = 2500

التمرين الثالث:

n = 24, a₁ = 100, d = 5

S₂₄ = (24/2) * [2 * 100 + (24 – 1) * 5]

S₂₄ = 12 * [200 + 23 * 5]

S₂₄ = 12 * [200 + 115]

S₂₄ = 12 * 315 = 3780

نصائح إضافية

• تدرب على حل العديد من الأمثلة: كلما تدربت أكثر، كلما أصبحت أكثر إتقانًا لحساب مجموع المتتاليات الحسابية.
• انتبه للإشارات: تأكد من أنك تتعامل مع الإشارات الموجبة والسالبة بشكل صحيح، خاصة عند التعامل مع الفرق المشترك.
• استخدم الآلة الحاسبة: استخدم الآلة الحاسبة لتسهيل العمليات الحسابية وتجنب الأخطاء.
• لا تخف من طلب المساعدة: إذا كنت تواجه صعوبة في فهم أي جزء من هذا الموضوع، فلا تتردد في طلب المساعدة من معلمك أو صديقك أو من مصدر موثوق عبر الإنترنت.

الخلاصة

حساب مجموع متتالية حسابية هو مهارة قيمة ومفيدة في العديد من المجالات. من خلال فهم المفاهيم الأساسية وتطبيق الصيغ المناسبة، يمكنك بسهولة حساب مجموع أي متتالية حسابية. تذكر أن التدريب المستمر هو المفتاح لإتقان هذه المهارة. نتمنى أن يكون هذا الدليل الشامل قد ساعدك في فهم كيفية حساب مجموع متتالية حسابية بشكل كامل.